미적분 예제

$y = x^{2} + 4 x$ solve $x \frac{d y}{d x} = x^{2} + y$

단계 1

미분 방정식을 다시 씁니다.

$x y' = x^{2} + y$

단계 2

$y'$ 를 구합니다.

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단계 2.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x)$

단계 2.2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 2.3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 2.3.1

미분합니다.

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단계 2.3.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 4 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

단계 2.3.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

단계 2.3.2

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + 4 \cdot 1$

단계 2.3.2.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x + 4$

단계 2.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 2 x + 4$

단계 3

주어진 미분 방정식에 대입합니다.

$x (2 x + 4) = x^{2} + x^{2} + 4 x$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x (2 x) + x \cdot 4 = x^{2} + x^{2} + 4 x$

단계 4.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 x \cdot x + x \cdot 4 = x^{2} + x^{2} + 4 x$

단계 4.3

$x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$2 x \cdot x + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

단계 4.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$2 (x \cdot x) + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

단계 4.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$2 x^{2} + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

$2 x^{2} + 4 x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

단계 4.5

$x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$2 x^{2} + 4 x = 2 x^{2} + 4 x$

단계 5

주어진 해는 주어진 미분 방정식을 만족합니다.

$y = x^{2} + 4 x$ 이 $x y' = x^{2} + y$ 의 해입니다.