미적분 예제

$(x - 34) \frac{d y}{d x} - y = {(x - 34)}^{3}$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$(x - 34) \frac{d y}{d x} - y = {(x - 34)}^{3}$ 의 각 항을 $x - 34$ 로 나눕니다.

$\frac{(x - 34) \frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{3}}{x - 34}$

단계 1.2

$x - 34$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 34) \frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{3}}{x - 34}$

단계 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{3}}{x - 34}$

단계 1.3

${(x - 34)}^{3}$ 및 $x - 34$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

${(x - 34)}^{3}$ 에서 $x - 34$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{(x - 34) {(x - 34)}^{2}}{x - 34}$

단계 1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{(x - 34) {(x - 34)}^{2}}{(x - 34) \cdot 1}$

단계 1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{(x - 34) {(x - 34)}^{2}}{(x - 34) \cdot 1}$

단계 1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{2}}{1}$

단계 1.3.2.4

${(x - 34)}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = {(x - 34)}^{2}$

단계 1.4

$\frac{- y}{x - 34}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x - 34} = {(x - 34)}^{2}$

단계 1.5

$y$ 와 $\frac{- 1}{x - 34}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x - 34} y = {(x - 34)}^{2}$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{- 1}{x - 34}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{- 1}{x - 34} d x}$

단계 2.2

$\frac{- 1}{x - 34}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{\int - \frac{1}{x - 34} d x}$

단계 2.2.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- \int \frac{1}{x - 34} d x}$

단계 2.2.3

먼저 $u = x - 34$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$u = x - 34$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.1

$x - 34$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 34]$

단계 2.2.3.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 34$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 34]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 34]$

단계 2.2.3.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 34]$

단계 2.2.3.1.4

$- 34$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 34$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 34$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.2.3.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2.3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

단계 2.2.4

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$e^{- (\ln (| u |) + C)}$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

$e^{- \ln (| u |) + C}$

단계 2.2.6

$u$ 를 모두 $x - 34$ 로 바꿉니다.

$e^{- \ln (| x - 34 |) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- \ln (x - 34)}$

단계 2.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln ({(x - 34)}^{- 1})}$

단계 2.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

${(x - 34)}^{- 1}$

단계 2.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x - 34}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $\frac{1}{x - 34}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

각 항에 $\frac{1}{x - 34}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x - 34} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x - 34} (\frac{- 1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\frac{1}{x - 34}$ 와 $\frac{d y}{d x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{1}{x - 34} (\frac{- 1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

단계 3.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{1}{x - 34} (- \frac{1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

단계 3.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{1}{x - 34} (\frac{1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

단계 3.2.4

$\frac{1}{x - 34}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{1}{x - 34} \cdot \frac{y}{x - 34} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

단계 3.2.5

$- \frac{1}{x - 34} \cdot \frac{y}{x - 34}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1

$\frac{y}{x - 34}$ 에 $\frac{1}{x - 34}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{(x - 34) (x - 34)} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

단계 3.2.5.2

$x - 34$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{1} (x - 34)} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

단계 3.2.5.3

$x - 34$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{1} {(x - 34)}^{1}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

단계 3.2.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{1 + 1}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

단계 3.2.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

단계 3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 34}{x - 34}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} \cdot \frac{x - 34}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

단계 3.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 ${(x - 34)}^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34}$ 에 $\frac{x - 34}{x - 34}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{(x - 34) (x - 34)} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

단계 3.4.2

$x - 34$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{1} (x - 34)} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

단계 3.4.3

$x - 34$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{1} {(x - 34)}^{1}} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

단계 3.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{1 + 1}} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

단계 3.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{2}} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

단계 3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34) - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

단계 3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot - 34 - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

단계 3.6.2

$\frac{d y}{d x}$ 의 왼쪽으로 $- 34$ 이동하기

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

단계 3.7

$x - 34$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

${(x - 34)}^{2}$ 에서 $x - 34$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} ((x - 34) (x - 34))$

단계 3.7.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} ((x - 34) (x - 34))$

단계 3.7.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = x - 34$

단계 3.8

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = x - 34$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x} - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = x - 34$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 34} y] = x - 34$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 34} y] d x = \int x - 34 d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$\frac{1}{x - 34} y = \int x - 34 d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

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단계 7.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{x - 34} y = \int x d x + \int - 34 d x$

단계 7.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x - 34} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 34 d x$

단계 7.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{x - 34} y = \frac{1}{2} x^{2} + C - 34 x + C$

단계 7.4

간단히 합니다.

$\frac{1}{x - 34} y = \frac{1}{2} x^{2} - 34 x + C$

단계 8

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\frac{1}{x - 34}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{x - 34} = \frac{1}{2} x^{2} - 34 x + C$

단계 8.2

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{x - 34} = \frac{x^{2}}{2} - 34 x + C$

단계 8.3

양변에 $x - 34$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x - 34} (x - 34) = (\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$

단계 8.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.1

$x - 34$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{x - 34} (x - 34) = (\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$

단계 8.4.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = (\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$

단계 8.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1

$(\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.1

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$ 를 전개합니다.

$y = \frac{x^{2}}{2} x + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

단계 8.4.2.1.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.2.1.1

$\frac{x^{2}}{2} x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.2.1.1.1

$\frac{x^{2}}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y = \frac{x^{2} x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

단계 8.4.2.1.2.1.1.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.2.1.1.2.1

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.2.1.1.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{x^{2} x^{1}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

단계 8.4.2.1.2.1.1.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \frac{x^{2 + 1}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

단계 8.4.2.1.2.1.1.2.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

단계 8.4.2.1.2.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.2.1.2.1

$- 34$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot (2 (- 17)) - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

단계 8.4.2.1.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot (2 \cdot - 17) - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

단계 8.4.2.1.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{x^{3}}{2} + x^{2} \cdot - 17 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

단계 8.4.2.1.2.1.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 17$ 이동하기

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 \cdot x^{2} - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

단계 8.4.2.1.2.1.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.2.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 (x \cdot x) - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

단계 8.4.2.1.2.1.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 x^{2} - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

단계 8.4.2.1.2.1.5

$- 34$ 에 $- 34$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 x^{2} + 1156 x + C x + C \cdot - 34$

단계 8.4.2.1.2.1.6

$C$ 의 왼쪽으로 $- 34$ 이동하기

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 x^{2} + 1156 x + C x - 34 C$

단계 8.4.2.1.2.2

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.2.2.1

$- 17 x^{2}$ 에서 $34 x^{2}$ 을 뺍니다.

$y = \frac{x^{3}}{2} - 51 x^{2} + 1156 x + C x - 34 C$

단계 8.4.2.1.2.2.2

다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.2.2.2.1

$1156 x$ 를 옮깁니다.

$y = \frac{x^{3}}{2} - 51 x^{2} + C x - 34 C + 1156 x$

단계 8.4.2.1.2.2.2.2

$- 51 x^{2}$ 를 옮깁니다.

$y = \frac{x^{3}}{2} + C x - 51 x^{2} - 34 C + 1156 x$