미적분 예제

$x + y \frac{d y}{d x} = 2$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$y \frac{d y}{d x} = 2 - x$

단계 1.1.2

$y \frac{d y}{d x} = 2 - x$ 의 각 항을 $y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$y \frac{d y}{d x} = 2 - x$ 의 각 항을 $y$ 로 나눕니다.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{2}{y} + \frac{- x}{y}$

단계 1.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{2}{y} + \frac{- x}{y}$

단계 1.1.2.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} + \frac{- x}{y}$

단계 1.1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} - \frac{x}{y}$

단계 1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 - x}{y}$

단계 1.3

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 - x}{y}$

단계 1.4

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

공약수로 약분합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 - x}{y}$

단계 1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d x} = 2 - x$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$y d y = (2 - x) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y d y = \int 2 - x d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 - x d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 d x + \int - x d x$

단계 2.3.2

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x + C_{2} + \int - x d x$

단계 2.3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x + C_{2} - \int x d x$

단계 2.3.4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + 2 x + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (2 x) + 2 K$

단계 3.2.2.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1.1

$- \frac{x^{2}}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 (2 x) + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.1.2

공약수로 약분합니다.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 (2 x) + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = - x^{2} + 2 (2 x) + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y^{2} = - x^{2} + 4 x + 2 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

단계 3.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

단계 3.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

단계 3.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + K}$