미적분 예제

$(e^{x} + y^{2}) d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = e^{x} + y^{2}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} + y^{2}]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해 $e^{x} + y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.3

$e^{x}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $e^{x}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $e^{x}$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

단계 1.5

$0$ 를 $2 y$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

단계 2

$N (x, y) = x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x y$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

단계 2.3.3

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$- \frac{1}{y}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{e^{x}}{y}$ 의 미분은 $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

단계 2.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{1}{y} e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

단계 2.4.3

$e^{x}$ 와 $\frac{1}{y}$ 을 묶습니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

단계 2.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.5.1

$- 2 y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2 y^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y} + 0$

단계 2.5.2

$y - \frac{e^{x}}{y}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y}$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 y$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $y - \frac{e^{x}}{y}$ 을 대입합니다.

$2 y = y - \frac{e^{x}}{y}$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$2 y = y - \frac{e^{x}}{y}$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $y - \frac{e^{x}}{y}$ 를 대입합니다.

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 4.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 y$ 를 대입합니다.

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - (2 y)}{M}$

단계 4.3

$M$ 에 $e^{x} + y^{2}$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$M$ 에 $e^{x} + y^{2}$ 를 대입합니다.

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - (2 y)}{e^{x} + y^{2}}$

단계 4.3.2

분수의 분자와 분모에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.2.1

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y}{e^{x} + y^{2}}$ 에 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{y} \cdot \frac{y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y}{e^{x} + y^{2}}$

단계 4.3.2.2

조합합니다.

$\frac{y (y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y)}{y (e^{x} + y^{2})}$

단계 4.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y \cdot y + y (- \frac{e^{x}}{y}) + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

단계 4.3.4

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.4.1

$- \frac{e^{x}}{y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{y \cdot y + y \frac{- e^{x}}{y} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

단계 4.3.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \cdot y + y \frac{- e^{x}}{y} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

단계 4.3.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y \cdot y - e^{x} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

단계 4.3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.5.1

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} - e^{x} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

단계 4.3.5.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 y \cdot y}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

단계 4.3.5.3

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.5.3.1

$y$ 를 옮깁니다.

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 (y \cdot y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

단계 4.3.5.3.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 y^{2}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

단계 4.3.5.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} - e^{x} - 2 y^{2}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

단계 4.3.5.5

$y^{2}$ 에서 $2 y^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

단계 4.3.6

$y e^{x} + y \cdot y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.6.1

$y e^{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x}) + y \cdot y^{2}}$

단계 4.3.6.2

$y \cdot y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x}) + y (y^{2})}$

단계 4.3.6.3

$y (e^{x}) + y (y^{2})$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x} + y^{2})}$

단계 4.3.7

$- y^{2} - e^{x}$ 및 $e^{x} + y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.7.1

$- y^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (y^{2}) - e^{x}}{y (e^{x} + y^{2})}$

단계 4.3.7.2

$- e^{x}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (y^{2}) - (e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

단계 4.3.7.3

$- (y^{2}) - (e^{x})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (y^{2} + e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

단계 4.3.7.4

$- (y^{2} + e^{x})$ 을 $- 1 (y^{2} + e^{x})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

단계 4.3.7.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (y^{2} + e^{x})}$

단계 4.3.7.6

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (y^{2} + e^{x})}$

단계 4.3.7.7

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{y}$

단계 4.3.8

$M$ 에 $e^{x} + y^{2}$ 를 대입합니다.

$- \frac{1}{y}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

단계 5

적분 $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

단계 5.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

단계 5.3

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

단계 5.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$- 1$ 를 로그 안으로 옮겨 $- \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

단계 5.4.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

단계 5.4.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

단계 6

$(e^{x} + y^{2}) d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{y}$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$e^{x} + y^{2}$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$(e^{x} + y^{2}) \frac{1}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

단계 6.2

$e^{x} + y^{2}$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

단계 6.3

$x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) \frac{1}{y} d y = 0$

단계 6.4

$x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

단계 6.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.5.1

공통 분모를 가지는 분수로 $x y$ 을 표현하기 위해 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y \cdot y}{y} - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

단계 6.5.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y \cdot y - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

단계 6.5.3

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 6.5.3.1

$y$ 를 옮깁니다.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x (y \cdot y) - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

단계 6.5.3.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

단계 6.5.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2 y^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} - 2 y^{2} \cdot \frac{y}{y}}{y} d y = 0$

단계 6.5.5

$- 2 y^{2}$ 와 $\frac{y}{y}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} + \frac{- 2 y^{2} y}{y}}{y} d y = 0$

단계 6.5.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{2} y}{y}}{y} d y = 0$

단계 6.5.7

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 6.5.7.1

$y$ 를 옮깁니다.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 (y \cdot y^{2})}{y}}{y} d y = 0$

단계 6.5.7.2

$y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.5.7.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 (y^{1} y^{2})}{y}}{y} d y = 0$

단계 6.5.7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{1 + 2}}{y}}{y} d y = 0$

단계 6.5.7.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y}}{y} d y = 0$

단계 6.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y} \cdot \frac{1}{y} d y = 0$

단계 6.7

$\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y} \cdot \frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

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단계 6.7.1

$\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y}$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y \cdot y} d y = 0$

단계 6.7.2

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1} y} d y = 0$

단계 6.7.3

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1} y^{1}} d y = 0$

단계 6.7.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1 + 1}} d y = 0$

단계 6.7.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}} d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x$

단계 8

$M (x, y) = \frac{e^{x} + y^{2}}{y}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} + \frac{y^{2}}{y} d x$

단계 8.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y^{2}}{y} d x$

단계 8.3

$y^{2}$ 및 $y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.1

$y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y} d x$

단계 8.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d x$

단계 8.3.2.2

$y^{1}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d x$

단계 8.3.2.3

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d x$

단계 8.3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y}{1} d x$

단계 8.3.2.5

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int y d x$

단계 8.4

$\frac{1}{y}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{y}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int e^{x} d x + \int y d x$

단계 8.5

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (e^{x} + C) + \int y d x$

단계 8.6

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (e^{x} + C) + y x + C$

단계 8.7

간단히 합니다.

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + C$

단계 9

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $\frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

단계 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$e^{x}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{e^{x}}{y}$ 의 미분은 $e^{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ 입니다.

$e^{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

단계 11.3.2

$\frac{1}{y}$ 을 $y^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{x} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

단계 11.3.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

단계 11.4

$\frac{d}{d y} [y x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $y x$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$e^{x} (- y^{- 2}) + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

단계 11.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} (- y^{- 2}) + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

단계 11.4.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x} (- y^{- 2}) + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

단계 11.5

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$e^{x} (- y^{- 2}) + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

단계 11.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.6.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$e^{x} (- \frac{1}{y^{2}}) + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

단계 11.6.2

$e^{x}$ 와 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{x}}{y^{2}} + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

단계 11.6.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + x - \frac{e^{x}}{y^{2}} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

단계 12

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1.1

방정식의 양변에서 $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} + x - \frac{e^{x}}{y^{2}} - \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - (x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.1.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - (x y^{2}) - - e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.1.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1.3.2.1

$- - e^{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1.3.2.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + 1 e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.1.3.2.1.2

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.1.3.2.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + e^{x} + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.1.4

$- e^{x} - x y^{2} + e^{x} + 2 y^{3}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1.4.1

$- e^{x}$ 를 $e^{x}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{2} + 0 + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.1.4.2

$- x y^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{2} + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.1.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1.5.1

$- x y^{2} + 2 y^{3}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1.5.1.1

$- x y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x) + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.1.5.1.2

$2 y^{3}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x) + y^{2} (2 y)}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.1.5.1.3

$y^{2} (- x) + y^{2} (2 y)$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x + 2 y)}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.1.5.2

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x + 2 y)}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.1.5.2.2

$- x + 2 y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d g}{d y} + x - x + 2 y = 0$

단계 12.1.1.6

$\frac{d g}{d y} + x - x + 2 y$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1.6.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} + 0 + 2 y = 0$

단계 12.1.1.6.2

$\frac{d g}{d y}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 y = 0$

단계 12.1.2

방정식의 양변에서 $2 y$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

단계 13

$- 2 y$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int - 2 y d y$

단계 13.3

$- 2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = - 2 \int y d y$

단계 13.4

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

단계 13.5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.1

$- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ 을 $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

단계 13.5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

단계 13.5.2.2

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.2.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

단계 13.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.2.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

단계 13.5.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

단계 13.5.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

단계 13.5.2.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$g (y) = - y^{2} + C$

단계 14

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x - y^{2} + C$