미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 10 x^{2} y + 5 x^{2} + 6 y + 3$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = (10 x^{2} y + 5 x^{2}) + 6 y + 3$

단계 1.1.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{2} (2 y + 1) + 3 (2 y + 1)$

단계 1.1.2

최대공약수 $2 y + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = (2 y + 1) (5 x^{2} + 3)$

단계 1.2

양변에 $\frac{1}{2 y + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} ((2 y + 1) (5 x^{2} + 3))$

단계 1.3

$2 y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} ((2 y + 1) (5 x^{2} + 3))$

단계 1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = 5 x^{2} + 3$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2 y + 1} d y = (5 x^{2} + 3) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{2 y + 1} d y = \int 5 x^{2} + 3 d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

먼저 $u = 2 y + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d y$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u = 2 y + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

$2 y + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

단계 2.2.1.1.2

합의 법칙에 의해 $2 y + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [2 y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.3.1

$2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 2.2.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

단계 2.2.1.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

단계 2.2.1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.4.1

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 + 0$

단계 2.2.1.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int 5 x^{2} + 3 d x$

단계 2.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int 5 x^{2} + 3 d x$

단계 2.2.2.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int 5 x^{2} + 3 d x$

단계 2.2.3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int 5 x^{2} + 3 d x$

단계 2.2.4

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 5 x^{2} + 3 d x$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int 5 x^{2} + 3 d x$

단계 2.2.6

$u$ 를 모두 $2 y + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \int 5 x^{2} + 3 d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \int 5 x^{2} d x + \int 3 d x$

단계 2.3.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = 5 \int x^{2} d x + \int 3 d x$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 3 d x$

단계 2.3.4

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

단계 2.3.5.2

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5 x^{3}}{3} + 3 x + C_{4}$

단계 2.3.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) = \frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |)) = 2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\ln (| 2 y + 1 |)$ 을 묶습니다.

$2 \frac{\ln (| 2 y + 1 |)}{2} = 2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{\ln (| 2 y + 1 |)}{2} = 2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$\frac{5}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 (\frac{5 x^{3}}{3} + 3 x + C)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 \frac{5 x^{3}}{3} + 2 (3 x) + 2 C$

단계 3.2.2.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

$2 \frac{5 x^{3}}{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1.1

$2$ 와 $\frac{5 x^{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{2 (5 x^{3})}{3} + 2 (3 x) + 2 C$

단계 3.2.2.1.3.1.2

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{10 x^{3}}{3} + 2 (3 x) + 2 C$

단계 3.2.2.1.3.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C$

단계 3.3

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| 2 y + 1 |)} = e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}$

단계 3.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} = | 2 y + 1 |$

단계 3.5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$| 2 y + 1 | = e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| 2 y + 1 | = e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}$

단계 3.5.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$2 y + 1 = \pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}$

단계 3.5.3

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$2 y = \pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} - 1$

단계 3.5.4

$2 y = \pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.1

$2 y = \pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

단계 3.5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

단계 3.5.4.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

단계 3.5.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} - 1}{2}$

단계 3.5.4.3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.3.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $6 x$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x \cdot \frac{3}{3} + 2 C} - 1}{2}$

단계 3.5.4.3.2.2

$6 x$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + \frac{6 x \cdot 3}{3} + 2 C} - 1}{2}$

단계 3.5.4.3.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3} + 6 x \cdot 3}{3} + 2 C} - 1}{2}$

단계 3.5.4.3.2.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.3.2.4.1

$10 x^{3} + 6 x \cdot 3$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.3.2.4.1.1

$10 x^{3}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2}) + 6 x \cdot 3}{3} + 2 C} - 1}{2}$

단계 3.5.4.3.2.4.1.2

$6 x \cdot 3$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2}) + 2 x (3 \cdot 3)}{3} + 2 C} - 1}{2}$

단계 3.5.4.3.2.4.1.3

$2 x (5 x^{2}) + 2 x (3 \cdot 3)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 3 \cdot 3)}{3} + 2 C} - 1}{2}$

단계 3.5.4.3.2.4.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 9)}{3} + 2 C} - 1}{2}$

단계 3.5.4.3.2.5

공통 분모를 가지는 분수로 $2 C$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 9)}{3} + 2 C \cdot \frac{3}{3}} - 1}{2}$

단계 3.5.4.3.2.6

$2 C$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 9)}{3} + \frac{2 C \cdot 3}{3}} - 1}{2}$

단계 3.5.4.3.2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 9) + 2 C \cdot 3}{3}} - 1}{2}$

단계 3.5.4.3.2.8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.3.2.8.1

$2 x (5 x^{2} + 9) + 2 C \cdot 3$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.3.2.8.1.1

$2 x (5 x^{2} + 9)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (x (5 x^{2} + 9)) + 2 C \cdot 3}{3}} - 1}{2}$

단계 3.5.4.3.2.8.1.2

$2 C \cdot 3$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (x (5 x^{2} + 9)) + 2 (C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

단계 3.5.4.3.2.8.1.3

$2 (x (5 x^{2} + 9)) + 2 (C \cdot 3)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (x (5 x^{2} + 9) + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

단계 3.5.4.3.2.8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (x (5 x^{2}) + x \cdot 9 + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

단계 3.5.4.3.2.8.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x \cdot x^{2} + x \cdot 9 + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

단계 3.5.4.3.2.8.4

$x$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x \cdot x^{2} + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

단계 3.5.4.3.2.8.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.3.2.8.5.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 (x^{2} x) + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

단계 3.5.4.3.2.8.5.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.3.2.8.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 (x^{2} x^{1}) + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

단계 3.5.4.3.2.8.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{2 + 1} + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

단계 3.5.4.3.2.8.5.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{3} + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{3} + 9 x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

단계 3.5.4.3.2.8.6

$C$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{3} + 9 x + 3 C)}{3}} - 1}{2}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{3} + 9 x + C)}{3}} - 1}{2}$