미적분 예제

$(e^{2 x} + 5) d y + y e^{2 x} d x = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $y e^{2 x} d x$ 를 뺍니다.

$(e^{2 x} + 5) d y = - y e^{2 x} d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{(e^{2 x} + 5) y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (e^{2 x} + 5) d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$e^{2 x} + 5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$(e^{2 x} + 5) y$ 에서 $e^{2 x} + 5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{(e^{2 x} + 5) (y)} (e^{2 x} + 5) d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

단계 3.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (e^{2 x} + 5) d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

단계 3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (y e^{2 x}) d x$

단계 3.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(e^{2 x} + 5) y} (y e^{2 x}) d x$

단계 3.3.2

$(e^{2 x} + 5) y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (e^{2 x} + 5)} (y e^{2 x}) d x$

단계 3.3.3

$y e^{2 x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (e^{2 x} + 5)} (y (e^{2 x})) d x$

단계 3.3.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (e^{2 x} + 5)} (y e^{2 x}) d x$

단계 3.3.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{e^{2 x} + 5} e^{2 x} d x$

단계 3.4

$\frac{- 1}{e^{2 x} + 5}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

단계 3.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

단계 4.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

단계 4.3.2

먼저 $u_{2} = e^{2 x} + 5$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 x} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$u_{2} = e^{2 x} + 5$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

$e^{2 x} + 5$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} + 5]$

단계 4.3.2.1.2

합의 법칙에 의해 $e^{2 x} + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 4.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 4.3.2.1.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 4.3.2.1.3.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 4.3.2.1.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5]$

단계 4.3.2.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5]$

단계 4.3.2.1.3.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [5]$

단계 4.3.2.1.3.5

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [5]$

단계 4.3.2.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.4.1

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$2 e^{2 x} + 0$

단계 4.3.2.1.4.2

$2 e^{2 x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 e^{2 x}$

단계 4.3.2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 4.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

$\frac{1}{u_{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

단계 4.3.3.2

$u_{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

단계 4.3.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

단계 4.3.5

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

단계 4.3.6

간단히 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

단계 4.3.7

$u_{2}$ 를 모두 $e^{2 x} + 5$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| e^{2 x} + 5 |) + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| e^{2 x} + 5 |) + C$