미적분 예제

$(1 + \ln (x) + \frac{y}{x}) d x - (1 - \ln (x)) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + \ln (x) + \frac{y}{x}]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

단계 1.2.2

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

단계 1.2.3

$\ln (x)$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $\ln (x)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\ln (x)$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$\frac{1}{x}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{y}{x}$ 의 미분은 $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x} \cdot 1$

단계 1.3.3

$\frac{1}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x}$

단계 1.4

항을 묶습니다.

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단계 1.4.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x}$

단계 1.4.2

$0$ 를 $\frac{1}{x}$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

단계 2

$N (x, y) = - (1 - \ln (x))$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 - \ln (x))]$

단계 2.2

미분합니다.

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단계 2.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- (1 - \ln (x))$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]$

단계 2.2.2

합의 법칙에 의해 $1 - \ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

단계 2.2.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

단계 2.2.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

단계 2.2.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \ln (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 2.2.6

곱합니다.

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단계 2.2.6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 2.2.6.2

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 2.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 대입합니다.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int - (1 - \ln (x)) d y$

단계 5

$N (x, y) = - (1 - \ln (x))$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = - (1 - \ln (x)) y + C$

단계 5.2

$- (1 - \ln (x)) y + C$ 을 $(- 1 + \ln (x)) y + C$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + C$

단계 6

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + g (x)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y + g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

단계 8.2

합의 법칙에 의해 $(- 1 + \ln (x)) y + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

단계 8.3

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.3.1

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $(- 1 + \ln (x)) y$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [- 1 + \ln (x)]$ 입니다.

$y \frac{d}{d x} [- 1 + \ln (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

단계 8.3.2

합의 법칙에 의해 $- 1 + \ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 가 됩니다.

$y (\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

단계 8.3.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$y (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

단계 8.3.4

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$y (0 + \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

단계 8.3.5

$0$ 를 $\frac{1}{x}$ 에 더합니다.

$y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

단계 8.3.6

$y$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

단계 8.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$\frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

단계 8.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

단계 9

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 9.1.1.1

방정식의 양변에서 $\ln (x)$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) = 1 + \frac{y}{x}$

단계 9.1.1.2

방정식의 양변에서 $\frac{y}{x}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) - \frac{y}{x} = 1$

단계 9.1.1.3

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) - \frac{y}{x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.1.1.3.1

$\frac{y}{x}$ 에서 $\frac{y}{x}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + 0 - \ln (x) = 1$

단계 9.1.1.3.2

$\frac{d g}{d x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} - \ln (x) = 1$

단계 9.1.2

방정식의 양변에 $\ln (x)$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x)$

단계 10

$1 + \ln (x)$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x)$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 1 + \ln (x) d x$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int 1 + \ln (x) d x$

단계 10.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$g (x) = \int d x + \int \ln (x) d x$

단계 10.4

상수 규칙을 적용합니다.

$g (x) = x + C + \int \ln (x) d x$

단계 10.5

$u = \ln (x)$ 이고 $d v = 1$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

단계 10.6

간단히 합니다.

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단계 10.6.1

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

단계 10.6.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.6.2.1

공약수로 약분합니다.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

단계 10.6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int d x$

단계 10.7

상수 규칙을 적용합니다.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - (x + C)$

단계 10.8

간단히 합니다.

$g (x) = x + \ln (x) x - x + C$

단계 10.9

간단히 합니다.

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단계 10.9.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$g (x) = \ln (x) x + 0 + C$

단계 10.9.2

$\ln (x) x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$g (x) = \ln (x) x + C$

단계 11

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + \ln (x) x + C$

단계 12

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + \ln (x) x + C$ 을 간단히 합니다.

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단계 12.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = - 1 y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$

단계 12.1.2

$- 1 y$ 을 $- y$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = - y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$

단계 12.2

$f (x, y) = - y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = - y + y \ln (x) + x \ln (x) + C$