미적분 예제

$\frac{d y}{d x} - y = y^{3}$

단계 1

미분 방정식을 풀려면 $y^{3}$ 의 지수가 $n$ 일 때 $v = y^{1 - n}$ 로 둡니다.

$v = y^{- 2}$

단계 2

$y$ 에 대해 식을 풉니다.

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

단계 3

$x$ 에 대해 $y$ 의 도함수를 구합니다.

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

단계 4

$x$ 에 대해 $v^{- \frac{1}{2}}$ 의 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$v^{- \frac{1}{2}}$ 도함수를 구합니다.

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

단계 4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

단계 4.3

$f (x) = 1$ , $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 4.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 4.4.2

${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 4.4.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 4.4.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

단계 4.5

간단히 합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

단계 4.6

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

단계 4.6.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.2.1

$v^{\frac{1}{2}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

단계 4.6.2.2

$0$ 에서 $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ 을 뺍니다.

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

단계 4.6.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

단계 4.7

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = v$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $v$ 로 바꿉니다.

$y' = - \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 4.7.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 4.7.3

$u_{1}$ 를 모두 $v$ 로 바꿉니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 4.8

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 4.9

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 4.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 4.11

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 4.11.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 4.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 4.13

$\frac{1}{2}$ 와 $v^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 4.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $v^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 4.15

$\frac{d}{d x} [v]$ 을 $v'$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

단계 4.16

$\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ 와 $v'$ 을 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

단계 4.17

$\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

단계 4.18

$\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{v}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

단계 4.19

$v$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

단계 4.20

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

단계 4.21

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

단계 4.22

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

단계 4.23

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

단계 5

원래 방정식 $\frac{d y}{d x} - y = y^{3}$ 에서 $\frac{d y}{d x}$ 은 $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ 으로, $y$ 은 $v^{- \frac{1}{2}}$ 로 치환합니다.

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} - v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

단계 6

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\frac{d v}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} = 0$

단계 6.1.1.1.2

${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} = 0$

단계 6.1.1.1.2.2

$- \frac{1}{2} \cdot 3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1.2.2.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- 3 (\frac{1}{2})} = 0$

단계 6.1.1.1.2.2.2

$- 3$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{\frac{- 3}{2}} = 0$

단계 6.1.1.1.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- \frac{3}{2}} = 0$

단계 6.1.1.1.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} = 0$

단계 6.1.1.2

$\frac{d v}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.1

방정식의 양변에 $\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ 를 더합니다.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$

단계 6.1.1.2.2

방정식의 양변에 $\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ 를 더합니다.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

단계 6.1.1.3

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}}{- 1} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

단계 6.1.1.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}}{1} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

단계 6.1.1.3.2.2

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

단계 6.1.1.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.3.1.1

$\frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

단계 6.1.1.3.3.1.2

$- 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ 을 $- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

단계 6.1.1.3.3.1.3

$\frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

단계 6.1.1.3.3.1.4

$- 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ 을 $- \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

단계 6.1.1.4

양변에 $2 v^{\frac{3}{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

단계 6.1.1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.5.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.5.1.1

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.5.1.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

단계 6.1.1.5.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.5.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

단계 6.1.1.5.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

단계 6.1.1.5.1.1.3

$v^{\frac{3}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.5.1.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

단계 6.1.1.5.1.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

단계 6.1.1.5.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.5.2.1

$(- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.5.2.1.1

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.5.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

단계 6.1.1.5.2.1.1.2

$v^{\frac{1}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.5.2.1.1.2.1

$- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

단계 6.1.1.5.2.1.1.2.2

$2 v^{\frac{3}{2}}$ 에서 $v^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (v^{\frac{1}{2}} (2 v^{\frac{2}{2}})) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

단계 6.1.1.5.2.1.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (v^{\frac{1}{2}} (2 v^{\frac{2}{2}})) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

단계 6.1.1.5.2.1.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} = - 1 (2 v^{\frac{2}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

단계 6.1.1.5.2.1.1.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

단계 6.1.1.5.2.1.1.4

$v^{\frac{3}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.5.2.1.1.4.1

$- \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

단계 6.1.1.5.2.1.1.4.2

$2 v^{\frac{3}{2}}$ 에서 $v^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (v^{\frac{3}{2}} \cdot 2)$

단계 6.1.1.5.2.1.1.4.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (v^{\frac{3}{2}} \cdot 2)$

단계 6.1.1.5.2.1.1.4.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 2$

단계 6.1.1.5.2.1.1.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - 2$

단계 6.1.1.5.2.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.5.2.1.2.1

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{1} - 2$

단계 6.1.1.5.2.1.2.2

간단히 합니다.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v - 2$

단계 6.1.2

양변에 $\frac{1}{- 2 v - 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- 2 v - 2} (- 2 v - 2)$

단계 6.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.1

$- 2 v - 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.1.1

$- 2 v$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v) - 2} (- 2 v - 2)$

단계 6.1.3.1.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v) + 2 (- 1)} (- 2 v - 2)$

단계 6.1.3.1.3

$2 (- v) + 2 (- 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v - 1)} (- 2 v - 2)$

단계 6.1.3.2

$\frac{1}{2 (- v - 1)}$ 에 $- 2 v - 2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v - 2}{2 (- v - 1)}$

단계 6.1.3.3

$- 2 v - 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.3.1

$- 2 v$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v) - 2}{2 (- v - 1)}$

단계 6.1.3.3.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v) + 2 \cdot - 1}{2 (- v - 1)}$

단계 6.1.3.3.3

$2 (- v) + 2 (- 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v - 1)}{2 (- v - 1)}$

단계 6.1.3.3.4

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v - 1)}{2 (- v - 1)}$

단계 6.1.3.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- v - 1}{- v - 1}$

단계 6.1.3.4

$- v - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- v - 1}{- v - 1}$

단계 6.1.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = 1$

단계 6.1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{- 2 v - 2} d v = 1 d x$

단계 6.2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{- 2 v - 2} d v = \int d x$

단계 6.2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

먼저 $u_{2} = - 2 v - 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 2 d v$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u_{2} = d v$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1

$u_{2} = - 2 v - 2$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d v}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1.1

$- 2 v - 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d v} [- 2 v - 2]$

단계 6.2.2.1.1.2

합의 법칙에 의해 $- 2 v - 2$ 를 $v$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d v} [- 2 v] + \frac{d}{d v} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d v} [- 2 v] + \frac{d}{d v} [- 2]$

단계 6.2.2.1.1.3

$\frac{d}{d v} [- 2 v]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1.3.1

$- 2$ 은 $v$ 에 대해 일정하므로 $v$ 에 대한 $- 2 v$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d v} [v]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 2]$

단계 6.2.2.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 는 $n v^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 2]$

단계 6.2.2.1.1.3.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 + \frac{d}{d v} [- 2]$

단계 6.2.2.1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1.4.1

$- 2$ 이 $v$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $v$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$- 2 + 0$

단계 6.2.2.1.1.4.2

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 2$

단계 6.2.2.1.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2} = \int d x$

단계 6.2.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2} = \int d x$

단계 6.2.2.2.2

$\frac{1}{u_{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int d x$

단계 6.2.2.2.3

$u_{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

단계 6.2.2.3

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

단계 6.2.2.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d x$

단계 6.2.2.5

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int d x$

단계 6.2.2.6

간단히 합니다.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int d x$

단계 6.2.2.7

$u_{2}$ 를 모두 $- 2 v - 2$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) + C_{1} = \int d x$

단계 6.2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) + C_{1} = x + C_{2}$

단계 6.2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) = x + C$

단계 6.3

$v$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

방정식의 양변에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |)) = - 2 (x + C)$

단계 6.3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1.1

$\ln (| - 2 v - 2 |)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- 2 (- \frac{\ln (| - 2 v - 2 |)}{2}) = - 2 (x + C)$

단계 6.3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1.2.1

$- \frac{\ln (| - 2 v - 2 |)}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 2 \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

단계 6.3.2.1.1.2.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 1) \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

단계 6.3.2.1.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

단계 6.3.2.1.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$- - \ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

단계 6.3.2.1.1.3

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

단계 6.3.2.1.1.3.2

$\ln (| - 2 v - 2 |)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

단계 6.3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 x - 2 C$

단계 6.3.3

$v$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| - 2 v - 2 |)} = e^{- 2 x - 2 C}$

단계 6.3.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 x - 2 C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- 2 x - 2 C} = | - 2 v - 2 |$

단계 6.3.5

$v$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.5.1

$| - 2 v - 2 | = e^{- 2 x - 2 C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| - 2 v - 2 | = e^{- 2 x - 2 C}$

단계 6.3.5.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$- 2 v - 2 = \pm e^{- 2 x - 2 C}$

단계 6.3.5.3

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$

단계 6.3.5.4

$- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.5.4.1

$- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

단계 6.3.5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.5.4.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

단계 6.3.5.4.2.1.2

$v$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

단계 6.3.5.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.5.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.5.4.3.1.1

$\frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2}$ 을 간단히 합니다.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{2}{- 2}$

단계 6.3.5.4.3.1.2

$2$ 을 $- 2$ 로 나눕니다.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} - 1$

단계 6.3.5.4.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

단계 6.3.5.4.3.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

단계 6.3.5.4.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C} - 1 \cdot 2}{2}$

단계 6.3.5.4.3.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C} - 2}{2}$

단계 6.4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x + C} - 2}{2}$

단계 6.4.2

$e^{- 2 x + C}$ 을 $e^{- 2 x} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x} e^{C} - 2}{2}$

단계 6.4.3

$e^{- 2 x}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$v = \frac{\pm e^{C} e^{- 2 x} - 2}{2}$

단계 6.4.4

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$v = \frac{C e^{- 2 x} - 2}{2}$

단계 7

$v$ 에 $y^{- 2}$ 를 대입합니다.

$y^{- 2} = \frac{C e^{- 2 x} - 2}{2}$