미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{y}}{2 x + 1}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{\sqrt{y}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{2 x + 1}$

단계 1.2

$\sqrt{y}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{2 x + 1}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x + 1}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = \frac{1}{2 x + 1} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{y}$ 을(를) $y^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

단계 2.2.1.2

$y^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

단계 2.2.1.3

${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

단계 2.2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

단계 2.2.1.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{- \frac{1}{2}}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

먼저 $u = 2 x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$u = 2 x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.1

$2 x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

단계 2.3.1.1.2

합의 법칙에 의해 $2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.1.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 + 0$

단계 2.3.1.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 2.3.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

단계 2.3.2.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

단계 2.3.3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

단계 2.3.4

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

단계 2.3.6

$u$ 를 모두 $2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + \frac{C}{2}$

단계 3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + \frac{C}{2}$

단계 3.1.2.2

$y^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + \frac{C}{2}$

단계 3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1.1

$\frac{1}{2}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)$ 을 간단히 합니다.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{C}{2}$

단계 3.1.3.1.2

$\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2}$ 을 $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ 로 바꿔 씁니다.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

단계 3.1.3.1.3

$\frac{1}{2}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ 을 간단히 합니다.

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

단계 3.1.3.1.4

${({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

단계 3.1.3.1.4.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1.4.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}) + \frac{C}{2}$

단계 3.1.3.1.4.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + \frac{C}{2}$

단계 3.1.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{C}{2}$

단계 3.1.3.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.3.1

$\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + \frac{C}{2}$

단계 3.1.3.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2 + C}{2}$

단계 3.1.3.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.4.1

$\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.4.1.1

$\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \cdot \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + C}{2}$

단계 3.1.3.4.1.2

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \cdot \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ 을 간단히 합니다.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2}) + C}{2}$

단계 3.1.3.4.2

${({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4} \cdot 2}) + C}{2}$

단계 3.1.3.4.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.4.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}) + C}{2}$

단계 3.1.3.4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}) + C}{2}$

단계 3.1.3.4.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2}$

단계 3.2

좌변의 분수 지수를 없애기 위해 방정식의 각 변을 $2$ 승합니다.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

단계 3.3

지수를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

단계 3.3.1.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

단계 3.3.1.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{1} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

단계 3.3.1.1.2

간단히 합니다.

$y = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

단계 3.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

${(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

분수 $\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2}$ 를 두 개의 분수로 나눕니다.

$y = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{C}{2})}^{2}$

단계 3.3.2.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.2.1

$\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2}$ 을 $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ 로 바꿔 씁니다.

$y = {(\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

단계 3.3.2.1.2.2

$\frac{1}{2}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ 을 간단히 합니다.

$y = {(\ln ({({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

단계 3.3.2.1.2.3

${({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

단계 3.3.2.1.2.3.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.2.3.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

단계 3.3.2.1.2.3.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + C)}^{2}$