미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos^{2} (y)}{x^{2}}$

단계 1

변수를 분리합니다.

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단계 1.1

양변에 $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} \cdot \frac{\cos^{2} (y)}{x^{2}}$

단계 1.2

간단히 합니다.

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단계 1.2.1

조합합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (y)}{\cos^{2} (y) x^{2}}$

단계 1.2.2

$\cos^{2} (y)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (y)}{\cos^{2} (y) x^{2}}$

단계 1.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

$\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ 을 $\sec^{2} (y)$ 로 변환합니다.

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2.2

$\tan (y)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (y)$ 이므로, $\sec^{2} (y)$ 의 적분값은 $\tan (y)$ 이 됩니다.

$\tan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.3.1.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\tan (y) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 2.3.1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\tan (y) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 2.3.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\tan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$\tan (y) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

단계 2.3.3

$- x^{- 1} + C_{2}$ 을 $- \frac{1}{x} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\tan (y) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\tan (y) = - \frac{1}{x} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

$- \frac{1}{x}$ 와 $K$ 을 다시 정렬합니다.

$\tan (y) = K - \frac{1}{x}$

단계 3.2

탄젠트 안의 $y$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$y = \arctan (K - \frac{1}{x})$