미적분 예제

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = x y^{2}$

단계 1

베르누이 방법에 맞도록 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$- \frac{y}{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = x y^{2}$

단계 1.2

$y$ 와 $- \frac{1}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x y^{2}$

단계 2

미분 방정식을 풀려면 $y^{2}$ 의 지수가 $n$ 일 때 $v = y^{1 - n}$ 로 둡니다.

$v = y^{- 1}$

단계 3

$y$ 에 대해 식을 풉니다.

$y = v^{- 1}$

단계 4

$x$ 에 대해 $y$ 의 도함수를 구합니다.

$y' = v^{- 1}$

단계 5

$x$ 에 대해 $v^{- 1}$ 의 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$v^{- 1}$ 도함수를 구합니다.

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

단계 5.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

단계 5.3

$f (x) = 1$ , $g (x) = v$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 5.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 5.4.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 5.4.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1

$v$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 5.4.3.2

$0$ 에서 $\frac{d}{d x} [v]$ 을 뺍니다.

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 5.4.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 5.5

$\frac{d}{d x} [v]$ 을 $v'$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

단계 6

원래 방정식 $\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x y^{2}$ 에서 $\frac{d y}{d x}$ 은 $- \frac{v'}{v^{2}}$ 으로, $y$ 은 $v^{- 1}$ 로 치환합니다.

$- \frac{v'}{v^{2}} - \frac{1}{x} v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$

단계 7

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{x} v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ 의 각 항에 $- v^{2}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{x} v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ 의 각 항에 $- v^{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 7.1.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1.1

$v^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 7.1.1.2.1.1.2

$- v^{2}$ 에서 $v^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 7.1.1.2.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 7.1.1.2.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 7.1.1.2.1.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 7.1.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 7.1.1.2.1.4

지수를 더하여 $v^{- 1}$ 에 $v^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1.4.1

$v^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} (v^{2} v^{- 1}) \cdot - 1 = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 7.1.1.2.1.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{2 - 1} \cdot - 1 = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 7.1.1.2.1.4.3

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{1} \cdot - 1 = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 7.1.1.2.1.5

$- \frac{1}{x} v^{1} \cdot - 1$ 을 간단히 합니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v \cdot - 1 = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 7.1.1.2.1.6

$v$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} \cdot - 1 = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 7.1.1.2.1.7

$- \frac{v}{x} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + 1 \frac{v}{x} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 7.1.1.2.1.7.2

$\frac{v}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 7.1.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

단계 7.1.1.3.2

${(v^{- 1})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

단계 7.1.1.3.2.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x v^{- 2} v^{2}$

단계 7.1.1.3.3

지수를 더하여 $v^{- 2}$ 에 $v^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.3.1

$v^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x (v^{2} v^{- 2})$

단계 7.1.1.3.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x v^{2 - 2}$

단계 7.1.1.3.3.3

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x v^{0}$

단계 7.1.1.3.4

$- x v^{0}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x$

단계 7.1.2

$\frac{v}{x}$ 에서 $v$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{x} = - x$

단계 7.1.3

$v$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = - x$

단계 7.2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{1}{x}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

단계 7.2.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{\ln (| x |) + C}$

단계 7.2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{\ln (x)}$

단계 7.2.4

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x$

단계 7.3

각 항에 적분 인수 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

각 항에 $x$ 을 곱합니다.

$x \frac{d v}{d x} + x (\frac{1}{x} v) = x (- x)$

단계 7.3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1

$\frac{1}{x}$ 와 $v$ 을 묶습니다.

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x (- x)$

단계 7.3.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x (- x)$

단계 7.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x \frac{d v}{d x} + v = x (- x)$

단계 7.3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x \frac{d v}{d x} + v = - x \cdot x$

단계 7.3.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x \frac{d v}{d x} + v = - (x \cdot x)$

단계 7.3.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x \frac{d v}{d x} + v = - x^{2}$

단계 7.4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x v] = - x^{2}$

단계 7.5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int - x^{2} d x$

단계 7.6

좌변을 적분합니다.

$x v = \int - x^{2} d x$

단계 7.7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x v = - \int x^{2} d x$

단계 7.7.2

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$x v = - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

단계 7.7.3

$- (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ 을 $- \frac{1}{3} x^{3} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$x v = - \frac{1}{3} x^{3} + C$

단계 7.8

$x v = - \frac{1}{3} x^{3} + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.1

$x v = - \frac{1}{3} x^{3} + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x v}{x} = \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x v}{x} = \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.8.2.1.2

$v$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v = \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.3.1.1

$x^{3}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.3.1.1.1

$- \frac{1}{3} x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$v = \frac{x (- \frac{1}{3} x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.8.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.3.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$v = \frac{x (- \frac{1}{3} x^{2})}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

단계 7.8.3.1.1.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$v = \frac{x (- \frac{1}{3} x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

단계 7.8.3.1.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$v = \frac{x (- \frac{1}{3} x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

단계 7.8.3.1.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$v = \frac{- \frac{1}{3} x^{2}}{1} + \frac{C}{x}$

단계 7.8.3.1.1.2.5

$- \frac{1}{3} x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v = - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{C}{x}$

단계 7.8.3.1.2

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$v = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{C}{x}$

단계 8

$v$ 에 $y^{- 1}$ 를 대입합니다.

$y^{- 1} = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{C}{x}$