미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y = \frac{1}{1 + x^{3}}$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} d x}$

단계 1.2

$\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{3 \int \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} d x}$

단계 1.2.2

$x^{3}$ 을 ${(x^{3})}^{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{3 \int \frac{x^{2}}{1 + {(x^{3})}^{1}} d x}$

단계 1.2.3

먼저 $u_{1} = x^{3}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$u_{1} = x^{3}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1.1

$x^{3}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.2.3.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2}$

단계 1.2.3.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{3 \int \frac{1}{1 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}}$

단계 1.2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

간단히 합니다.

$e^{3 \int \frac{1}{1 + u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}}$

단계 1.2.4.2

$\frac{1}{1 + u_{1}}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$e^{3 \int \frac{1}{(1 + u_{1}) \cdot 3} d u_{1}}$

단계 1.2.4.3

$1 + u_{1}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$e^{3 \int \frac{1}{3 (1 + u_{1})} d u_{1}}$

단계 1.2.5

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1})}$

단계 1.2.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

단계 1.2.6.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

단계 1.2.6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{1 \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

단계 1.2.6.3

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

단계 1.2.7

먼저 $u_{2} = 1 + u_{1}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1

$u_{2} = 1 + u_{1}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1.1

$1 + u_{1}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

단계 1.2.7.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + u_{1}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 1.2.7.1.3

$1$ 이 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 1.2.7.1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 1$

단계 1.2.7.1.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2.7.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}}$

단계 1.2.8

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$e^{\ln (| u_{2} |) + C}$

단계 1.2.9

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.1

$u_{2}$ 를 모두 $1 + u_{1}$ 로 바꿉니다.

$e^{\ln (| 1 + u_{1} |) + C}$

단계 1.2.9.2

$u_{1}$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$e^{\ln (| 1 + x^{3} |) + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{\ln (1 + x^{3})}$

단계 1.4

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$1 + x^{3}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $1 + x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 항에 $1 + x^{3}$ 을 곱합니다.

$(1 + x^{3}) \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

단계 2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$1 \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

단계 2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

단계 2.2.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1^{3} + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

단계 2.2.3.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

단계 2.2.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

단계 2.2.3.3.2

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

단계 2.2.4

$\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) \frac{3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

단계 2.2.5

$1 + x^{3}$ 에 $\frac{3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x^{3}) (3 x^{2} y)}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

단계 2.2.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1^{3} + x^{3}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

단계 2.2.6.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

단계 2.2.6.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

단계 2.2.6.3.2

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

단계 2.2.7

$1 + x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

단계 2.2.7.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{1 - x + x^{2}} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

단계 2.2.8

$1 - x + x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.8.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{1 - x + x^{2}} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

단계 2.2.8.2

$3 x^{2} y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

단계 2.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{1^{3} + x^{3}}$

단계 2.3.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}$

단계 2.3.3.2

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

단계 2.4

$1 + x^{3}$ 에 $\frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 + x^{3}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

단계 2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1^{3} + x^{3}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

단계 2.5.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

단계 2.5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

단계 2.5.3.2

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

단계 2.6

$1 + x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

단계 2.6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 - x + x^{2}}{1 - x + x^{2}}$

단계 2.7

$1 - x + x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 - x + x^{2}}{1 - x + x^{2}}$

단계 2.7.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 1$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{3}) y] = 1$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{3}) y] d x = \int d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$(1 + x^{3}) y = \int d x$

단계 6

상수 규칙을 적용합니다.

$(1 + x^{3}) y = x + C$

단계 7

$(1 + x^{3}) y = x + C$ 의 각 항을 $1 + x^{3}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$(1 + x^{3}) y = x + C$ 의 각 항을 $1 + x^{3}$ 로 나눕니다.

$\frac{(1 + x^{3}) y}{1 + x^{3}} = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$1 + x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(1 + x^{3}) y}{1 + x^{3}} = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

단계 7.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1.1

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{x}{1^{3} + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

단계 7.3.1.1.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

단계 7.3.1.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

단계 7.3.1.1.3.2

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

단계 7.3.1.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.2.1

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{1^{3} + x^{3}}$

단계 7.3.1.2.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}$

단계 7.3.1.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.2.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}$

단계 7.3.1.2.3.2

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$