미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 2 x$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = 3$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int 3 d x}$

단계 1.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{3 x + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{3 x}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $e^{3 x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 항에 $e^{3 x}$ 을 곱합니다.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (2 x)$

단계 2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (2 x)$

단계 2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x$

단계 2.4

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 2 x e^{3 x}$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 2 x e^{3 x}$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 2 x e^{3 x} d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$e^{3 x} y = \int 2 x e^{3 x} d x$

단계 6

우변을 적분합니다.

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단계 6.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{3 x} y = 2 \int x e^{3 x} d x$

단계 6.2

$u = x$ 이고 $d v = e^{3 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{3 x} y = 2 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

단계 6.3

간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$\frac{1}{3}$ 와 $e^{3 x}$ 을 묶습니다.

$e^{3 x} y = 2 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

단계 6.3.2

$x$ 와 $\frac{e^{3 x}}{3}$ 을 묶습니다.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

단계 6.3.3

$\frac{1}{3}$ 와 $e^{3 x}$ 을 묶습니다.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

단계 6.4

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

단계 6.5

먼저 $u = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 6.5.1

$u = 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.5.1.1

$3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 6.5.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 6.5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 6.5.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 6.5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)$

단계 6.6

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

단계 6.7

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

단계 6.8

간단히 합니다.

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단계 6.8.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

단계 6.8.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

단계 6.9

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

단계 6.10

$2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ 을 $2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

단계 6.11

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

단계 7

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 7.1

간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$e^{3 x}$ 와 $\frac{1}{9}$ 을 묶습니다.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

단계 7.1.2

괄호를 제거합니다.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

단계 7.2

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$ 의 각 항을 $e^{3 x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$ 의 각 항을 $e^{3 x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 7.2.2.1

$e^{3 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.2.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.2.3.1.1.1

$\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}$ 에서 $e^{3 x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.2.3.1.1.1.1

$\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x}$ 에서 $e^{3 x}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 (e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.2.3.1.1.1.2

$- \frac{e^{3 x}}{9}$ 에서 $e^{3 x}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 (e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x) + e^{3 x} (- \frac{1}{9}))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.2.3.1.1.1.3

$e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x) + e^{3 x} (- \frac{1}{9})$ 에서 $e^{3 x}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 (e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x - \frac{1}{9}))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.2.3.1.1.2

$\frac{1}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x}{3} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.2.3.1.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.2.3.1.1.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $9$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1.1.4.1

$\frac{x}{3}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.2.3.1.1.4.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x \cdot 3}{9} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.2.3.1.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{2 e^{3 x} \frac{x \cdot 3 - 1}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.2.3.1.1.6

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$y = \frac{2 e^{3 x} \frac{3 x - 1}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.2.3.1.1.7

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1.1.7.1

$\frac{3 x - 1}{9}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\frac{(3 x - 1) \cdot 2}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.2.3.1.1.7.2

$\frac{(3 x - 1) \cdot 2}{9}$ 와 $e^{3 x}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\frac{(3 x - 1) \cdot 2 e^{3 x}}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.2.3.1.1.8

$3 x - 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y = \frac{\frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.2.3.1.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9} \cdot \frac{1}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.2.3.1.3

조합합니다.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x} \cdot 1}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.2.3.1.4

$e^{3 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x} \cdot 1}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.2.3.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{2 (3 x - 1) \cdot 1}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.2.3.1.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 (3 x - 1)}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.2.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2 (3 x - 1)}{9}$ 을 표현하기 위해 $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 (3 x - 1)}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.2.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{C}{e^{3 x}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 (3 x - 1)}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

단계 7.2.3.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $9 e^{3 x}$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.4.1

$\frac{2 (3 x - 1)}{9}$ 에 $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

단계 7.2.3.4.2

$\frac{C}{e^{3 x}}$ 에 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{e^{3 x} \cdot 9}$

단계 7.2.3.4.3

$e^{3 x} \cdot 9$ 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

단계 7.2.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

단계 7.2.3.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

단계 7.2.3.6.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{(6 x + 2 \cdot - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

단계 7.2.3.6.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{(6 x - 2) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

단계 7.2.3.6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

단계 7.2.3.6.5

$C$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$