미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \arctan (x)$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

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단계 1.1

$\frac{y}{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \arctan (x)$

단계 1.2

$y$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \arctan (x)$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{1}{x}$ 입니다.

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단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

단계 2.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{\ln (| x |) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{\ln (x)}$

단계 2.4

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x$

단계 3

각 항에 적분 인수 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

각 항에 $x$ 을 곱합니다.

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \arctan (x)$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$\frac{1}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \arctan (x)$

단계 3.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \arctan (x)$

단계 3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \arctan (x)$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x y] = x \arctan (x)$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x \arctan (x) d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$x y = \int x \arctan (x) d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

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단계 7.1

$u = \arctan (x)$ 이고 $d v = x$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x y = \arctan (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

단계 7.2

간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$x y = \arctan (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

단계 7.2.2

$\arctan (x)$ 와 $\frac{x^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

단계 7.3

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

단계 7.4

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 을 묶습니다.

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

단계 7.5

$x^{2}$ 을 $x^{2} + 1$ 로 나눕니다.

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단계 7.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

단계 7.5.2

피제수 $x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

단계 7.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

단계 7.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{2} + 0 + 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

단계 7.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

단계 7.5.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

단계 7.6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

단계 7.7

상수 규칙을 적용합니다.

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

단계 7.8

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

단계 7.9

식을 간단히 합니다.

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단계 7.9.1

$x^{2}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

단계 7.9.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

단계 7.10

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\arctan (x) + C$ 입니다.

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - (\arctan (x) + C))$

단계 7.11

간단히 합니다.

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{x}{2} + \frac{\arctan (x)}{2} + C$

단계 7.12

항을 다시 정렬합니다.

$x y = \frac{1}{2} \arctan (x) x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \arctan (x) + C$

단계 8

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 8.1

간단히 합니다.

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단계 8.1.1

$x$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$x y = \frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2}) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) + C$

단계 8.1.2

괄호를 제거합니다.

$x y = \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) + C$

단계 8.2

$x y = \frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2}) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$x y = \frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2}) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2})}{x} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2})}{x} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2})}{x} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1.1

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.3.1.1.1

$\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x (\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x))}{x} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.3.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{x (\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x))}{x^{1}} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2.3.1.1.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x (\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2.3.1.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{x (\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2.3.1.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x)}{1} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2.3.1.1.2.5

$\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x) + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2.3.1.2

$\frac{1}{2} (\arctan (x) x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1.2.1

$\arctan (x)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\arctan (x)}{2} x + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2.3.1.2.2

$\frac{\arctan (x)}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2.3.1.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2.3.1.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1.4.1

$- \frac{x}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} + \frac{- x}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2.3.1.4.2

$- x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} + \frac{x \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2.3.1.4.3

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} + \frac{x \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2.3.1.4.4

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} + \frac{- 1}{2} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2.3.1.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2.3.1.6

$\frac{1}{2}$ 와 $\arctan (x)$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\frac{\arctan (x)}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2.3.1.7

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\arctan (x)}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2.3.1.8

$\frac{\arctan (x)}{2}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\arctan (x)}{2 x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2.3.2

$\frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\arctan (x)}{2 x} + \frac{C}{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \frac{x \arctan (x)}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\arctan (x)}{2 x} + \frac{C}{x}$