미적분 예제

$8 y \frac{d y}{d x} = \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}}$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$8 y d y = \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int 8 y d y = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$8$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$8 \int y d y = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

단계 2.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ 을 $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

단계 2.2.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.1

$8$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

단계 2.2.3.2.2

$8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.2.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

단계 2.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

단계 2.2.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

단계 2.2.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4}{1} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

단계 2.2.3.2.2.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $12$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

단계 2.3.2

먼저 $u = 3 x + 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$u = 3 x + 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$3 x + 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

단계 2.3.2.1.2

합의 법칙에 의해 $3 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.2.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.2.1.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.2.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.4.1

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$3 + 0$

단계 2.3.2.1.4.2

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3$

단계 2.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$\frac{1}{u^{2}}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

단계 2.3.3.2

$u^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

단계 2.3.4

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 y^{2} + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

단계 2.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $12$ 을 묶습니다.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{12}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

단계 2.3.5.1.2

$12$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.2.1

$12$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

단계 2.3.5.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.2.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

단계 2.3.5.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

단계 2.3.5.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

단계 2.3.5.1.2.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

단계 2.3.5.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.1

$u^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

단계 2.3.5.2.2

${(u^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

단계 2.3.5.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int u^{- 2} d u$

단계 2.3.6

멱의 법칙에 의해 $u^{- 2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- u^{- 1}$ 가 됩니다.

$4 y^{2} + C_{1} = 4 (- u^{- 1} + C_{2})$

단계 2.3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$4 (- u^{- 1} + C_{2})$ 을 $4 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 y^{2} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

단계 2.3.7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$4 y^{2} + C_{1} = - 4 \frac{1}{u} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.2

$- 4$ 와 $\frac{1}{u}$ 을 묶습니다.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{- 4}{u} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{u} + C_{2}$

단계 2.3.8

$u$ 를 모두 $3 x + 2$ 로 바꿉니다.

$4 y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{3 x + 2} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

단계 3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

단계 3.1.2.1.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

단계 3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2} + K}{4}$

단계 3.1.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $K$ 을 표현하기 위해 $\frac{3 x + 2}{3 x + 2}$ 을 곱합니다.

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2} + \frac{K (3 x + 2)}{3 x + 2}}{4}$

단계 3.1.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + K (3 x + 2)}{3 x + 2}}{4}$

단계 3.1.3.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + K (3 x) + K \cdot 2}{3 x + 2}}{4}$

단계 3.1.3.4.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + 3 K x + K \cdot 2}{3 x + 2}}{4}$

단계 3.1.3.4.3

$K$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + 3 K x + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

단계 3.1.3.5

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.5.1

$- 4$ 을 $- 1 (4)$ 로 바꿔 씁니다.

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4) + 3 K x + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

단계 3.1.3.5.2

$3 K x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4) - (- 3 K x) + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

단계 3.1.3.5.3

$- 1 (4) - (- 3 K x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x) + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

단계 3.1.3.5.4

$2 K$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x) - (- 2 K)}{3 x + 2}}{4}$

단계 3.1.3.5.5

$- 1 (4 - 3 K x) - (- 2 K)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x - 2 K)}{3 x + 2}}{4}$

단계 3.1.3.5.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y^{2} = \frac{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}{4}$

단계 3.1.3.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y^{2} = - \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2} \cdot \frac{1}{4}$

단계 3.1.3.7

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}$ 을 곱합니다.

$y^{2} = - \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}$

단계 3.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}}$

단계 3.3

$\pm \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}$ 을 ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$4 - 3 K x - 2 K$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{4 (3 x + 2)}}$

단계 3.3.1.2

$4 (3 x + 2)$ 에서 완전제곱인 $2^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{2^{2} (3 x + 2)}}$

단계 3.3.1.3

분수 $\frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{2^{2} (3 x + 2)}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})}$

단계 3.3.1.4

$- 1$ 와 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

단계 3.3.1.5

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

단계 3.3.1.6

괄호를 표시합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})}$

단계 3.3.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

단계 3.3.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

단계 3.3.4

$\frac{1}{2}$ 와 $\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

단계 3.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

단계 3.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

단계 3.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 + K x + K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 + K x + K}{3 x + 2}}}{2}$