미적분 예제

$9 y (\frac{d y}{d x}) + 4 x = 0$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

방정식의 양변에서 $4 x$ 를 뺍니다.

$9 y \frac{d y}{d x} = - 4 x$

단계 1.1.2

$9 y \frac{d y}{d x} = - 4 x$ 의 각 항을 $9 y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$9 y \frac{d y}{d x} = - 4 x$ 의 각 항을 $9 y$ 로 나눕니다.

$\frac{9 y \frac{d y}{d x}}{9 y} = \frac{- 4 x}{9 y}$

단계 1.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{9 y \frac{d y}{d x}}{9 y} = \frac{- 4 x}{9 y}$

단계 1.1.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 4 x}{9 y}$

단계 1.1.2.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 4 x}{9 y}$

단계 1.1.2.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x}{9 y}$

단계 1.1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{9 y}$

단계 1.2

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{4 x}{9 y})$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{4 x}{9 y}$

단계 1.3.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$- y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x}{9 y}$

단계 1.3.2.2

$9 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x}{y \cdot 9}$

단계 1.3.2.3

공약수로 약분합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x}{y \cdot 9}$

단계 1.3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{9}$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$y d y = - \frac{4 x}{9} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y d y = \int - \frac{4 x}{9} d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{9} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{4 x}{9} d x$

단계 2.3.2

$\frac{4}{9}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{4}{9}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{4}{9} \int x d x)$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{9} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

단계 2.3.4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

$- \frac{4}{9} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 을 $- \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

단계 2.3.4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{4}{9}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{2 \cdot 9} x^{2} + C_{2}$

단계 2.3.4.2.2

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{18} x^{2} + C_{2}$

단계 2.3.4.2.3

$4$ 및 $18$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.3.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 (2)}{18} x^{2} + C_{2}$

단계 2.3.4.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.3.2.1

$18$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9} x^{2} + C_{2}$

단계 2.3.4.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9} x^{2} + C_{2}$

단계 2.3.4.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2}{9} x^{2} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{2}{9} x^{2} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1.1

$x^{2}$ 와 $\frac{2}{9}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2} \cdot 2}{9} + K)$

단계 3.2.2.1.1.2

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y^{2} = 2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K$

단계 3.2.2.1.3

$2 (- \frac{2 x^{2}}{9})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y^{2} = - 2 \frac{2 x^{2}}{9} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.2

$- 2$ 와 $\frac{2 x^{2}}{9}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = \frac{- 2 (2 x^{2})}{9} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.3

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y^{2} = \frac{- 4 x^{2}}{9} + 2 K$

단계 3.2.2.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y^{2} = - \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K}$

단계 3.4

$\pm \sqrt{- \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$- \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

$- \frac{4 x^{2}}{9}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K}$

단계 3.4.1.2

$2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K}$

단계 3.4.1.3

$2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + K)}$

단계 3.4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $K$ 을 표현하기 위해 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + K \cdot \frac{9}{9})}$

단계 3.4.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$K$ 와 $\frac{9}{9}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + \frac{K \cdot 9}{9})}$

단계 3.4.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 2 x^{2} + K \cdot 9}{9}}$

단계 3.4.4

$K$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 2 x^{2} + 9 K}{9}}$

단계 3.4.5

$2$ 와 $\frac{- 2 x^{2} + 9 K}{9}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}{9}}$

단계 3.4.6

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}{9}$ 을 ${(\frac{1}{3})}^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1

$2 (- 2 x^{2} + 9 K)$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}{9}}$

단계 3.4.6.2

$9$ 에서 완전제곱인 $3^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}}$

단계 3.4.6.3

분수 $\frac{1^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}$

단계 3.4.7

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}$

단계 3.4.8

$\frac{1}{3}$ 와 $\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

단계 3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

단계 3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

단계 3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + K)}}{3}$