미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 0$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = (6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

단계 2.3.2

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 6 \int x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x^{- 3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

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단계 2.3.4.1

$x^{- 2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

단계 2.3.4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

단계 2.3.5

$8$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

단계 2.3.6

$x^{- 1}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

단계 2.3.7

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

단계 2.3.8

간단히 합니다.

$y + C_{1} = - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) - x + C_{5}$

단계 2.3.9

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{1} = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C_{5}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ 에서 $x$ 에 $1$ 을, $y$ 에 $0$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$0 = - 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$

단계 4

$C$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

단계 4.2

$- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 1 - \frac{3}{1} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

단계 4.2.1.2

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1 - 1 \cdot 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

단계 4.2.1.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 1 - 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

단계 4.2.1.4

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$- 1 - 3 + 8 \ln (1) + C = 0$

단계 4.2.1.5

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$- 1 - 3 + 8 \cdot 0 + C = 0$

단계 4.2.1.6

$8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- 1 - 3 + 0 + C = 0$

단계 4.2.2

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$- 1 - 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 1 - 3 + C = 0$

단계 4.2.2.2

$- 1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- 4 + C = 0$

단계 4.3

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$C = 4$

단계 5

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ 의 $C$ 에 $4$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$C$ 에 $4$ 를 대입합니다.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + 4$

단계 5.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$8$ 를 로그 안으로 옮겨 $8 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln ({| x |}^{8}) + 4$

단계 5.2.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x |}^{8}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln (x^{8}) + 4$