미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}}$ , $y (5) = 4$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

단계 2.3.2

먼저 $u = 2 x^{2} - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 x d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$u = 2 x^{2} - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$2 x^{2} - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

단계 2.3.2.1.2

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3.2.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3.2.1.3.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3.2.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.4.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$4 x + 0$

단계 2.3.2.1.4.2

$4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 x$

단계 2.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

단계 2.3.3.2

$\sqrt{u}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

단계 2.3.4

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

단계 2.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.1

$\frac{1}{4}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{2}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 2.3.5.1.2

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 2.3.5.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 2.3.5.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 2.3.5.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 2.3.5.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 2.3.5.2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 2.3.5.2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 2.3.5.2.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 2.3.5.2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 2.3.6

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

단계 2.3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ 을 $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.3

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.8

$u$ 를 모두 $2 x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ 에서 $x$ 에 $5$ 을, $y$ 에 $4$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$4 = {(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

${(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$ 로 방정식을 다시 씁니다.

${(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

${(2 \cdot 25 - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

단계 4.2.1.2

$2$ 에 $25$ 을 곱합니다.

${(50 - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

단계 4.2.2

$50$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$49^{\frac{1}{2}} + K = 4$

단계 4.2.3

$49$ 을 $7^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(7^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

단계 4.2.4

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$7^{2 (\frac{1}{2})} + K = 4$

단계 4.2.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$7^{2 (\frac{1}{2})} + K = 4$

단계 4.2.5.2

수식을 다시 씁니다.

$7^{1} + K = 4$

단계 4.2.6

지수값을 계산합니다.

$7 + K = 4$

단계 4.3

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 4.3.1

방정식의 양변에서 $7$ 를 뺍니다.

$K = 4 - 7$

단계 4.3.2

$4$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$K = - 3$

단계 5

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ 의 $K$ 에 $- 3$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$K$ 에 $- 3$ 를 대입합니다.

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 3$