미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{\sqrt{x}}$ , $y (1) = 0$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 2.3.2

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$y + C_{1} = \int (x + 1) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

단계 2.3.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

단계 2.3.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

단계 2.3.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 2.3.4

$(x + 1) x^{- \frac{1}{2}}$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 2.3.4.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y + C_{1} = \int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 2.3.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y + C_{1} = \int x^{1 - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 2.3.4.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 2.3.4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 2.3.4.6

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 2.3.4.7

$x^{- \frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 2.3.5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 2.3.6

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 2.3.7

멱의 법칙에 의해 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{3}$

단계 2.3.8

간단히 합니다.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ 에서 $x$ 에 $1$ 을, $y$ 에 $0$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$0 = \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

단계 4.2

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{2}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

단계 4.2.1.2

$\frac{2}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

단계 4.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{2}{3} + 2 \cdot 1 + K = 0$

단계 4.2.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} + 2 + K = 0$

단계 4.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} + K = 0$

단계 4.2.3

$2$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + K = 0$

단계 4.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 + 2 \cdot 3}{3} + K = 0$

단계 4.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2 + 6}{3} + K = 0$

단계 4.2.5.2

$2$ 를 $6$ 에 더합니다.

$\frac{8}{3} + K = 0$

단계 4.3

방정식의 양변에서 $\frac{8}{3}$ 를 뺍니다.

$K = - \frac{8}{3}$

단계 5

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ 의 $K$ 에 $- \frac{8}{3}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$K$ 에 $- \frac{8}{3}$ 를 대입합니다.

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{3}$

단계 5.2

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{3}$