미적분 예제

$x \frac{d y}{d x} + 6 y = 18$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

방정식의 양변에서 $6 y$ 를 뺍니다.

$x \frac{d y}{d x} = 18 - 6 y$

단계 1.1.2

$x \frac{d y}{d x} = 18 - 6 y$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$x \frac{d y}{d x} = 18 - 6 y$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{18}{x} + \frac{- 6 y}{x}$

단계 1.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{18}{x} + \frac{- 6 y}{x}$

단계 1.1.2.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{18}{x} + \frac{- 6 y}{x}$

단계 1.1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{18}{x} - \frac{6 y}{x}$

단계 1.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{18 - 6 y}{x}$

단계 1.2.2

$18 - 6 y$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$18$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (3) - 6 y}{x}$

단계 1.2.2.2

$- 6 y$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (3) + 6 (- y)}{x}$

단계 1.2.2.3

$6 (3) + 6 (- y)$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (3 - y)}{x}$

단계 1.3

양변에 $\frac{1}{3 - y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{6 (3 - y)}{x}$

단계 1.4

$3 - y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$6 (3 - y)$ 에서 $3 - y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 6}{x}$

단계 1.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 6}{x}$

단계 1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{x}$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3 - y} d y = \frac{6}{x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{3 - y} d y = \int \frac{6}{x} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

먼저 $u = 3 - y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d y$ 이므로 $- d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u = 3 - y$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1}$

단계 2.2.1.1.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{6}{x} d x$

단계 2.2.2

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{6}{x} d x$

단계 2.2.3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{6}{x} d x$

단계 2.2.4

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{6}{x} d x$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{6}{x} d x$

단계 2.2.6

$u$ 를 모두 $3 - y$ 로 바꿉니다.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{6}{x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 6 (\ln (| x |) + C_{2})$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 6 \ln (| x |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \ln (| 3 - y |) = 6 \ln (| x |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$- \ln (| 3 - y |) - 6 \ln (| x |) = C$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$6$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 6 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$- \ln (| 3 - y |) - \ln ({| x |}^{6}) = C$

단계 3.2.1.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x |}^{6}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$- \ln (| 3 - y |) - \ln (x^{6}) = C$

단계 3.3

방정식의 양변에 $\ln (x^{6})$ 를 더합니다.

$- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (x^{6})$

단계 3.4

$- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (x^{6})$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (x^{6})$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \ln (| 3 - y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

단계 3.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\ln (| 3 - y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

단계 3.4.2.2

$\ln (| 3 - y |)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| 3 - y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

단계 3.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1.1

$\frac{C}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\ln (| 3 - y |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

단계 3.4.3.1.2

$- 1 \cdot C$ 을 $- C$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| 3 - y |) = - C + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

단계 3.4.3.1.3

$\frac{\ln (x^{6})}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\ln (| 3 - y |) = - C - 1 \cdot \ln (x^{6})$

단계 3.4.3.1.4

$- 1 \cdot \ln (x^{6})$ 을 $- \ln (x^{6})$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| 3 - y |) = - C - \ln (x^{6})$

단계 3.5

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| 3 - y |) + \ln (x^{6}) = - C$

단계 3.6

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| 3 - y | x^{6}) = - C$

단계 3.7

$\ln (| 3 - y | x^{6})$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\ln (x^{6} | 3 - y |) = - C$

단계 3.8

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (x^{6} | 3 - y |)} = e^{- C}$

단계 3.9

로그의 정의를 이용하여 $\ln (x^{6} | 3 - y |) = - C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- C} = x^{6} | 3 - y |$

단계 3.10

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.1

$x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$

단계 3.10.2

$x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$ 의 각 항을 $x^{6}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.1

$x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$ 의 각 항을 $x^{6}$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{6} | 3 - y |}{x^{6}} = \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

단계 3.10.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.2.1

$x^{6}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{6} | 3 - y |}{x^{6}} = \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

단계 3.10.2.2.1.2

$| 3 - y |$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$| 3 - y | = \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

단계 3.10.3

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$3 - y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

단계 3.10.4

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$- y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}} - 3$

단계 3.10.5

$- y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}} - 3$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.5.1

$- y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}} - 3$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

단계 3.10.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.5.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

단계 3.10.5.2.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

단계 3.10.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.5.3.1.1

$\frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$y = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}) + \frac{- 3}{- 1}$

단계 3.10.5.3.1.2

$- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}})$ 을 $- (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}})$ 로 바꿔 씁니다.

$y = - (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}) + \frac{- 3}{- 1}$

단계 3.10.5.3.1.3

$- 3$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$y = - (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}) + 3$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = - (\pm \frac{C}{x^{6}}) + 3$

단계 4.2

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = - (C \frac{1}{x^{6}}) + 3$