미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = e^{4 x} \cos (e^{4 x})$ , $y (0) = 0$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

먼저 $u_{1} = 4 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 4 d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$u_{1} = 4 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.1

$4 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x]$

단계 2.3.1.1.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1$

단계 2.3.1.1.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4$

단계 2.3.1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \int e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}}) \frac{1}{4} d u_{1}$

단계 2.3.2

간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

$\frac{1}{4}$ 와 $e^{u_{1}}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}}}{4} \cos (e^{u_{1}}) d u_{1}$

단계 2.3.2.2

$\frac{e^{u_{1}}}{4}$ 와 $\cos (e^{u_{1}})$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}})}{4} d u_{1}$

단계 2.3.3

$\frac{1}{4}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}}) d u_{1}$

단계 2.3.4

먼저 $u_{2} = e^{u_{1}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

$u_{2} = e^{u_{1}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1.1

$e^{u_{1}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

단계 2.3.4.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}}$

단계 2.3.4.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

단계 2.3.5

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{2})$ 입니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u_{2}) + C_{2}$

단계 2.3.7

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 2.3.7.1

$u_{2}$ 를 모두 $e^{u_{1}}$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (e^{u_{1}}) + C_{2}$

단계 2.3.7.2

$u_{1}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $0$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$0 = \frac{1}{4} \sin (e^{4 \cdot 0}) + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{4 \cdot 0}) + K = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{4 \cdot 0}) + K = 0$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{0}) + K = 0$

단계 4.2.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{4} \cdot \sin (1) + K = 0$

단계 4.2.1.3

$\sin (1)$ 의 값을 구합니다.

$\frac{1}{4} \cdot 0.0174524 + K = 0$

단계 4.2.1.4

$\frac{1}{4}$ 와 $0.0174524$ 을 묶습니다.

$\frac{0.0174524}{4} + K = 0$

단계 4.2.1.5

$0.0174524$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$0.0043631 + K = 0$

단계 4.3

방정식의 양변에서 $0.0043631$ 를 뺍니다.

$K = - 0.0043631$

단계 5

$y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$ 의 $K$ 에 $- 0.0043631$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$K$ 에 $- 0.0043631$ 를 대입합니다.

$y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) - 0.0043631$

단계 5.2

$\frac{1}{4}$ 와 $\sin (e^{4 x})$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sin (e^{4 x})}{4} - 0.0043631$