미적분 예제

$\frac{d f}{d t} = y (f - c)$

단계 1

$v = f - c$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $f - c$ 를 $v$ 로 바꿉니다.

$\frac{d f}{d t} = y v$

단계 2

$f - c$ 를 미분하여 $\frac{d v}{d t}$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $f - c$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [f] + \frac{d}{d t} [- c]$ 가 됩니다.

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d t} [f] + \frac{d}{d t} [- c]$

단계 2.2

$\frac{d}{d t} [f]$ 을 $f'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d v}{d t} = f' + \frac{d}{d t} [- c]$

단계 2.3

$- c$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- c$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- c$ 입니다.

$\frac{d v}{d t} = f' + 0$

단계 2.4

$f'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d v}{d t} = f'$

단계 3

도함수를 다시 미분 방정식에 대입합니다.

$\frac{d v}{d t} = y v$

단계 4

변수를 분리합니다.

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단계 4.1

양변에 $\frac{1}{v}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (y v)$

단계 4.2

$v$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1

$y v$ 에서 $v$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (v y)$

단계 4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (v y)$

단계 4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = y$

단계 4.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{v} d v = y d t$

단계 5

양변을 적분합니다.

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단계 5.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{v} d v = \int y d t$

단계 5.2

$\frac{1}{v}$ 를 $v$ 에 대해 적분하면 $\ln (| v |)$ 입니다.

$\ln (| v |) + C_{1} = \int y d t$

단계 5.3

우변을 적분합니다.

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단계 5.3.1

상수 규칙을 적용합니다.

$\ln (| v |) + C_{1} = y t + C_{2}$

단계 5.3.2

항을 다시 정렬합니다.

$\ln (| v |) + C_{1} = t y + C_{2}$

단계 5.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| v |) = t y + C$

단계 6

$v$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.1

$v$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| v |)} = e^{t y + C}$

단계 6.2

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| v |) = t y + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{t y + C} = | v |$

단계 6.3

$v$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.3.1

$| v | = e^{t y + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| v | = e^{t y + C}$

단계 6.3.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$v = \pm e^{t y + C}$

단계 7

상수 항을 하나로 묶습니다.

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단계 7.1

$e^{t y + C}$ 을 $e^{t y} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$v = \pm e^{t y} e^{C}$

단계 7.2

$e^{t y}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$v = \pm e^{C} e^{t y}$

단계 7.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$v = C e^{t y}$

단계 8

$v$ 를 모두 $f - c$ 로 바꿉니다.

$f - c = C e^{t y}$

단계 9

방정식의 양변에 $c$ 를 더합니다.

$f = C e^{t y} + c$