미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 2 y e^{x}$ , $y (0) = 4$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 y e^{x})$

단계 1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (y e^{x})$

단계 1.2.2

$2$ 와 $\frac{1}{y}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y e^{x})$

단계 1.2.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$y e^{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y (e^{x}))$

단계 1.2.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y e^{x})$

단계 1.2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 e^{x}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = 2 e^{x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 2 e^{x} d x$

단계 2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 e^{x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int e^{x} d x$

단계 2.3.2

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (e^{x} + C_{2})$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{x} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = 2 e^{x} + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 e^{x} + C}$

단계 3.2

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y |) = 2 e^{x} + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{2 e^{x} + C} = | y |$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$| y | = e^{2 e^{x} + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y | = e^{2 e^{x} + C}$

단계 3.3.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm e^{2 e^{x} + C}$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$e^{2 e^{x} + C}$ 을 $e^{2 e^{x}} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm e^{2 e^{x}} e^{C}$

단계 4.2

$e^{2 e^{x}}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm e^{C} e^{2 e^{x}}$

단계 4.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C e^{2 e^{x}}$

단계 5

초기 조건을 활용하여 $y = C e^{2 e^{x}}$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $4$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$4 = C e^{2 e^{0}}$

단계 6

$C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$C e^{2 e^{0}} = 4$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$C e^{2 e^{0}} = 4$

단계 6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$C e^{2 \cdot 1} = 4$

단계 6.2.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$C e^{2} = 4$

단계 6.3

$C e^{2} = 4$ 의 각 항을 $e^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$C e^{2} = 4$ 의 각 항을 $e^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{C e^{2}}{e^{2}} = \frac{4}{e^{2}}$

단계 6.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$e^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{C e^{2}}{e^{2}} = \frac{4}{e^{2}}$

단계 6.3.2.1.2

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$C = \frac{4}{e^{2}}$

단계 7

$y = C e^{2 e^{x}}$ 의 $C$ 에 $\frac{4}{e^{2}}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$C$ 에 $\frac{4}{e^{2}}$ 를 대입합니다.

$y = \frac{4}{e^{2}} e^{2 e^{x}}$

단계 7.2

$\frac{4}{e^{2}}$ 와 $e^{2 e^{x}}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{4 e^{2 e^{x}}}{e^{2}}$

단계 7.3

$e^{2 e^{x}}$ 및 $e^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$4 e^{2 e^{x}}$ 에서 $e^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2}}$

단계 7.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2} \cdot 1}$

단계 7.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2} \cdot 1}$

단계 7.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{4 e^{2 e^{x} - 2}}{1}$

단계 7.3.2.4

$4 e^{2 e^{x} - 2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = 4 e^{2 e^{x} - 2}$