미적분 예제

$25 \frac{d q}{d t} - \frac{d^{2} q}{d t^{2}} = 0$

단계 1

$v = \frac{d q}{d t}$ 로 두면 $\frac{d v}{d t} = \frac{d^{2} q}{d t^{2}}$ 입니다. $v$ 를 $\frac{d q}{d t}$ 에 대입하고, $\frac{d v}{d t}$ 를 $\frac{d^{2} q}{d t^{2}}$ 에 대입하여 종속 변수 $v$ 와 독립 변수 $t$ 로 미분 방정식을 구합니다.

$25 v - \frac{d v}{d t} = 0$

단계 2

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{d v}{d t}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

방정식의 양변에서 $25 v$ 를 뺍니다.

$- \frac{d v}{d t} = - 25 v$

단계 2.1.2

$- \frac{d v}{d t} = - 25 v$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$- \frac{d v}{d t} = - 25 v$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \frac{d v}{d t}}{- 1} = \frac{- 25 v}{- 1}$

단계 2.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{1} = \frac{- 25 v}{- 1}$

단계 2.1.2.2.2

$\frac{d v}{d t}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d v}{d t} = \frac{- 25 v}{- 1}$

단계 2.1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1

$\frac{- 25 v}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\frac{d v}{d t} = - 1 \cdot (- 25 v)$

단계 2.1.2.3.2

$- 1 \cdot (- 25 v)$ 을 $- (- 25 v)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d v}{d t} = - (- 25 v)$

단계 2.1.2.3.3

$- 25$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d t} = 25 v$

단계 2.2

양변에 $\frac{1}{v}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (25 v)$

단계 2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = 25 \frac{1}{v} v$

단계 2.3.2

$25$ 와 $\frac{1}{v}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{25}{v} v$

단계 2.3.3

$v$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{25}{v} v$

단계 2.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = 25$

단계 2.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{v} d v = 25 d t$

단계 3

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{v} d v = \int 25 d t$

단계 3.2

$\frac{1}{v}$ 를 $v$ 에 대해 적분하면 $\ln (| v |)$ 입니다.

$\ln (| v |) + C_{1} = \int 25 d t$

단계 3.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\ln (| v |) + C_{1} = 25 t + C_{2}$

단계 3.4

우변에 적분 상수를 $C_{3}$ 로 묶습니다.

$\ln (| v |) = 25 t + C_{3}$

단계 4

$v$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$v$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| v |)} = e^{25 t + C_{3}}$

단계 4.2

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| v |) = 25 t + C_{3}$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{25 t + C_{3}} = | v |$

단계 4.3

$v$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$| v | = e^{25 t + C_{3}}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| v | = e^{25 t + C_{3}}$

단계 4.3.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$v = \pm e^{25 t + C_{3}}$

단계 5

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$e^{25 t + C_{3}}$ 을 $e^{25 t} e^{C_{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$v = \pm e^{25 t} e^{C_{3}}$

단계 5.2

$e^{25 t}$ 와 $e^{C_{3}}$ 을 다시 정렬합니다.

$v = \pm e^{C_{3}} e^{25 t}$

단계 5.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$v = C_{4} e^{25 t}$

단계 6

$v$ 를 모두 $\frac{d q}{d t}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d q}{d t} = C_{4} e^{25 t}$

단계 7

식을 다시 씁니다.

$d q = C_{4} e^{25 t} d t$

단계 8

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d q = \int C_{4} e^{25 t} d t$

단계 8.2

상수 규칙을 적용합니다.

$q + C_{5} = \int C_{4} e^{25 t} d t$

단계 8.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$C_{4}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $C_{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$q + C_{5} = C_{4} \int e^{25 t} d t$

단계 8.3.2

먼저 $u = 25 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 25 d t$ 이므로 $\frac{1}{25} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$u = 25 t$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1.1

$25 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [25 t]$

단계 8.3.2.1.2

$25$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $25 t$ 의 미분은 $25 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$25 \frac{d}{d t} [t]$

단계 8.3.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$25 \cdot 1$

단계 8.3.2.1.4

$25$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$25$

단계 8.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$q + C_{5} = C_{4} \int e^{u} \frac{1}{25} d u$

단계 8.3.3

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{25}$ 을 묶습니다.

$q + C_{5} = C_{4} \int \frac{e^{u}}{25} d u$

단계 8.3.4

$\frac{1}{25}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{25}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$q + C_{5} = C_{4} (\frac{1}{25} \int e^{u} d u)$

단계 8.3.5

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$q + C_{5} = C_{4} \frac{1}{25} (e^{u} + C_{6})$

단계 8.3.6

간단히 합니다.

$q + C_{5} = \frac{C_{4}}{25} e^{u} + C_{7}$

단계 8.3.7

$u$ 를 모두 $25 t$ 로 바꿉니다.

$q + C_{5} = \frac{C_{4}}{25} e^{25 t} + C_{7}$

단계 8.3.8

항을 다시 정렬합니다.

$q + C_{5} = \frac{1}{25} C_{4} e^{25 t} + C_{7}$

단계 8.3.9

항을 다시 정렬합니다.

$q + C_{5} = \frac{1}{25} e^{25 t} C_{4} + C_{7}$

단계 8.4

우변에 적분 상수를 $D$ 로 묶습니다.

$q = \frac{1}{25} e^{25 t} C + D$