미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} - 4 x + 7}}$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = \frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} - 4 x + 7}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int \frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} - 4 x + 7}} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} - 4 x + 7}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

먼저 $u = x^{2} - 4 x + 7$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = (2 x - 4) d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = (x - 2) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.3.1.1

$u = x^{2} - 4 x + 7$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.3.1.1.1

$x^{2} - 4 x + 7$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 7]$

단계 2.3.1.1.2

미분합니다.

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단계 2.3.1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 4 x + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 2.3.1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 2.3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1.1.3.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 2.3.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

단계 2.3.1.1.3.3

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x - 4 + \frac{d}{d x} [7]$

단계 2.3.1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1.1.4.1

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$2 x - 4 + 0$

단계 2.3.1.1.4.2

$2 x - 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x - 4$

단계 2.3.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.3.2

간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

단계 2.3.2.2

$\sqrt{u}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

단계 2.3.3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 2.3.4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 2.3.4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 2.3.4.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.4.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 2.3.4.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 2.3.4.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 2.3.5

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

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단계 2.3.6.1

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ 을 $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.6.2

간단히 합니다.

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단계 2.3.6.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.6.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.6.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.6.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.6.2.3

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7

$u$ 를 모두 $x^{2} - 4 x + 7$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = {(x^{2} - 4 x + 7)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = {(x^{2} - 4 x + 7)}^{\frac{1}{2}} + K$