미적분 예제

$\frac{d y}{d t} = e^{- y} \sin (\frac{t}{3})$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{e^{- y}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sin (\frac{t}{3}))$

단계 1.2

$e^{- y}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

$e^{- y} \sin (\frac{t}{3})$ 에서 $e^{- y}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sin (\frac{t}{3})))$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sin (\frac{t}{3}))$

단계 1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \sin (\frac{t}{3})$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \sin (\frac{t}{3}) d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1.1

$e^{- y}$ 의 지수의 부호를 반대로 바꾸고 분모 밖으로 빼냅니다.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

단계 2.2.1.2

간단히 합니다.

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단계 2.2.1.2.1

${(e^{- y})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

단계 2.2.1.2.1.2

$- y \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.1.2.1.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

단계 2.2.1.2.1.2.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 1 e^{y} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

단계 2.2.1.2.2

$e^{y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int e^{y} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

단계 2.2.2

$e^{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $e^{y}$ 입니다.

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

먼저 $u = \frac{t}{3}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{3} d t$ 이므로 $3 d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.3.1.1

$u = \frac{t}{3}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 2.3.1.1.1

$\frac{t}{3}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{3}]$

단계 2.3.1.1.2

$\frac{1}{3}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{t}{3}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$

단계 2.3.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1$

단계 2.3.1.1.4

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3}$

단계 2.3.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

단계 2.3.2

간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

$\frac{1}{3}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (u) (1 \cdot 3) d u$

단계 2.3.2.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (u) \cdot 3 d u$

단계 2.3.2.3

$\sin (u)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$e^{y} + C_{1} = \int 3 \sin (u) d u$

단계 2.3.3

$3$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{y} + C_{1} = 3 \int \sin (u) d u$

단계 2.3.4

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u)$ 입니다.

$e^{y} + C_{1} = 3 (- \cos (u) + C_{2})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

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단계 2.3.5.1

간단히 합니다.

$e^{y} + C_{1} = 3 (- \cos (u)) + C_{2}$

단계 2.3.5.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$e^{y} + C_{1} = - 3 \cos (u) + C_{2}$

단계 2.3.6

$u$ 를 모두 $\frac{t}{3}$ 로 바꿉니다.

$e^{y} + C_{1} = - 3 \cos (\frac{t}{3}) + C_{2}$

단계 2.3.7

항을 다시 정렬합니다.

$e^{y} + C_{1} = - 3 \cos (\frac{1}{3} t) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$e^{y} = - 3 \cos (\frac{1}{3} t) + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{y}) = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$

단계 3.2

왼편을 확장합니다.

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단계 3.2.1

$y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{y})$ 을 전개합니다.

$y \ln (e) = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$

단계 3.2.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$y \cdot 1 = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$

단계 3.2.3

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$