미적분 예제

$2 x y y' = x^{2} + 2 y^{2}$

단계 1

미분 방정식을 다시 씁니다.

$2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 y^{2}$

단계 2

$\frac{y}{x}$ 의 함수로 미분 방정식을 다시 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 y^{2}$ 의 각 항을 $2 x y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 y^{2}$ 의 각 항을 $2 x y$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

단계 2.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

단계 2.1.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

단계 2.1.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

단계 2.1.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

단계 2.1.2.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

단계 2.1.2.3.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

단계 2.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1.1

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1.1.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

단계 2.1.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1.1.2.1

$2 x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

단계 2.1.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

단계 2.1.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

단계 2.1.3.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

단계 2.1.3.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y^{2}}{x y}$

단계 2.1.3.1.3

$y^{2}$ 및 $y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1.3.1

$y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{x y}$

단계 2.1.3.1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1.3.2.1

$x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

단계 2.1.3.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

단계 2.1.3.1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y}{x}$

단계 2.2

$f (\frac{y}{x})$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{x}{2 y}$ 의 $\frac{x}{y}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$\frac{x}{2 y}$ 에서 $\frac{x}{y}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2} + \frac{y}{x}$

단계 2.2.1.2

$\frac{x}{y}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

단계 2.2.2

$\frac{x}{y}$ 을 ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x}$

단계 3

$V = \frac{y}{x}$ 라고 두고, $V$ 를 $\frac{y}{x}$ 에 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V^{- 1} + V$

단계 4

$V = \frac{y}{x}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

$y = V x$

단계 5

곱의 미분 법칙을 사용해 $x$ 에 대하여 $y = V x$ 의 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

단계 6

$\frac{d y}{d x}$ 에 $x \frac{d V}{d x} + V$ 를 대입합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V^{- 1} + V$

단계 7

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$\frac{d V}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V} + V$

단계 7.1.1.1.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{V}$ 을 곱합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2 V} + V$

단계 7.1.1.2

$\frac{d V}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1

방정식의 양변에서 $V$ 를 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + V - V$

단계 7.1.1.2.2

$\frac{1}{2 V} + V - V$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.2.1

$V$ 에서 $V$ 을 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + 0$

단계 7.1.1.2.2.2

$\frac{1}{2 V}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$

단계 7.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

단계 7.1.1.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

단계 7.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

단계 7.1.1.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

단계 7.1.1.3.3.2

$\frac{1}{2 V}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V x}$

단계 7.1.2

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

단계 7.1.3

양변에 $2 V$ 을 곱합니다.

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V (\frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

단계 7.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.4.1

$\frac{1}{2 V}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V x}$

단계 7.1.4.2

$2 V$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.4.2.1

$2 V x$ 에서 $2 V$ 를 인수분해합니다.

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V (x)}$

단계 7.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V x}$

단계 7.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 V \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

단계 7.1.5

식을 다시 씁니다.

$2 V d V = \frac{1}{x} d x$

단계 7.2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int 2 V d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$2$ 은 $V$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int V d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.2.2

멱의 법칙에 의해 $V$ 를 $V$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} V^{2}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{1}{2} V^{2} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.3.1

$2 (\frac{1}{2} V^{2} + C_{1})$ 을 $2 (\frac{1}{2}) V^{2} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (\frac{1}{2}) V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.2.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.3.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.2.3.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.2.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.2.3.2.3

$V^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$V^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

단계 7.2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$V^{2} = \ln (| x |) + C$

단계 7.3

$V$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$V = \pm \sqrt{\ln (| x |) + C}$

단계 7.3.2

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$V = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

단계 7.3.2.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.