미적분 예제

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - \frac{d y}{d x} = 0$

단계 1

$v = \frac{d y}{d x}$ 로 두면 $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 입니다. $v$ 를 $\frac{d y}{d x}$ 에 대입하고, $\frac{d v}{d x}$ 를 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 에 대입하여 종속 변수 $v$ 와 독립 변수 $x$ 로 미분 방정식을 구합니다.

$\frac{d v}{d x} - v = 0$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = - 1$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - 1 d x}$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{- x + C_{1}}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- x}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} \cdot 0$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} \cdot 0$

단계 3.3

$e^{- x}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = 0$

단계 3.4

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = 0$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = 0$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = 0$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int 0 d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$e^{- x} v = \int 0 d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$0$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $0$ 입니다.

$e^{- x} v = 0 + C_{2}$

단계 7.2

$0$ 를 $C_{2}$ 에 더합니다.

$e^{- x} v = C_{2}$

단계 8

$e^{- x} v = C_{2}$ 의 각 항을 $e^{- x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$e^{- x} v = C_{2}$ 의 각 항을 $e^{- x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$e^{- x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

단계 8.2.1.2

$v$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

단계 9

$v$ 를 모두 $\frac{d y}{d x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

단계 10

식을 다시 씁니다.

$d y = \frac{C_{2}}{e^{- x}} d x$

단계 11

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int \frac{C_{2}}{e^{- x}} d x$

단계 11.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{3} = \int \frac{C_{2}}{e^{- x}} d x$

단계 11.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$C_{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $C_{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{3} = C_{2} \int \frac{1}{e^{- x}} d x$

단계 11.3.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.1

$e^{- x}$ 의 지수의 부호를 반대로 바꾸고 분모 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 {(e^{- x})}^{- 1} d x$

단계 11.3.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.2.1

${(e^{- x})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{- x \cdot - 1} d x$

단계 11.3.2.2.1.2

$- x \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.2.1.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{1 x} d x$

단계 11.3.2.2.1.2.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{x} d x$

단계 11.3.2.2.2

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{x} d x$

단계 11.3.3

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$y + C_{3} = C_{2} (e^{x} + C_{4})$

단계 11.3.4

간단히 합니다.

$y + C_{3} = C_{2} e^{x} + C_{5}$

단계 11.3.5

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{3} = e^{x} C_{2} + C_{5}$

단계 11.4

우변에 적분 상수를 $D$ 로 묶습니다.

$y = e^{x} C + D$