미적분 예제

$(x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3) d x + (x^{2} y) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해 $x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $x y^{2}$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

단계 1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

단계 1.3.3

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

단계 1.4

$\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$x^{2}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $x^{2} y^{2}$ 의 미분은 $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

단계 1.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [3]$

단계 1.4.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 x^{2} y + \frac{d}{d y} [3]$

단계 1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.5.1

$3$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 x^{2} y + 0$

단계 1.5.2

$2 x y + 2 x^{2} y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 x^{2} y$

단계 2

$N (x, y) = x^{2} y$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

단계 2.2

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x^{2} y$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x)$

단계 2.4

다시 정렬합니다.

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단계 2.4.1

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot y x$

단계 2.4.2

$2 y x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 x y + 2 x^{2} y$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2 x y$ 을 대입합니다.

$2 x y + 2 x^{2} y = 2 x y$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$2 x y + 2 x^{2} y = 2 x y$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 x y + 2 x^{2} y$ 를 대입합니다.

$\frac{2 x y + 2 x^{2} y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

단계 4.2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2 x y$ 를 대입합니다.

$\frac{2 x y + 2 x^{2} y - (2 x y)}{N}$

단계 4.3

$N$ 에 $x^{2} y$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$N$ 에 $x^{2} y$ 를 대입합니다.

$\frac{2 x y + 2 x^{2} y - (2 x y)}{x^{2} y}$

단계 4.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.2.1

$2 x y + 2 x^{2} y - 1 \cdot 2 x y$ 에서 $x y$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.2.1.1

$2 x y$ 에서 $x y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x y (2) + 2 x^{2} y - 1 \cdot 2 x y}{x^{2} y}$

단계 4.3.2.1.2

$2 x^{2} y$ 에서 $x y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x y (2) + x y (2 x) - 1 \cdot 2 x y}{x^{2} y}$

단계 4.3.2.1.3

$- 1 \cdot 2 x y$ 에서 $x y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x y (2) + x y (2 x) + x y (- 1 \cdot 2)}{x^{2} y}$

단계 4.3.2.1.4

$x y (2) + x y (2 x)$ 에서 $x y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x y (2 + 2 x) + x y (- 1 \cdot 2)}{x^{2} y}$

단계 4.3.2.1.5

$x y (2 + 2 x) + x y (- 1 \cdot 2)$ 에서 $x y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x y (2 + 2 x - 1 \cdot 2)}{x^{2} y}$

단계 4.3.2.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x y (2 + 2 x - 2)}{x^{2} y}$

단계 4.3.2.3

$2 + 2 x - 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.3.2.3.1

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{x y (2 x + 0)}{x^{2} y}$

단계 4.3.2.3.2

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x y (2 x)}{x^{2} y}$

$\frac{x y \cdot 2 x}{x^{2} y}$

단계 4.3.2.4

지수를 묶습니다.

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단계 4.3.2.4.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{1} x y \cdot 2}{x^{2} y}$

단계 4.3.2.4.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{1} x^{1} y \cdot 2}{x^{2} y}$

단계 4.3.2.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{1 + 1} y \cdot 2}{x^{2} y}$

단계 4.3.2.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} y \cdot 2}{x^{2} y}$

단계 4.3.3

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} y \cdot 2}{x^{2} y}$

단계 4.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y \cdot 2}{y}$

단계 4.3.4

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \cdot 2}{y}$

단계 4.3.4.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

단계 5

적분 $e^{\int 2 d x}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

상수 규칙을 적용합니다.

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

단계 5.2

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

단계 6

$(x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3) d x + x^{2} y d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $e^{2 x}$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3$ 에 $e^{2 x}$ 을 곱합니다.

$(x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3) e^{2 x} d x + x^{2} y d y = 0$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}) d x + x^{2} y d y = 0$

단계 6.3

$x^{2} y$ 에 $e^{2 x}$ 을 곱합니다.

$(x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}) d x + x^{2} y e^{2 x} d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int x^{2} y e^{2 x} d y$

단계 8

$N (x, y) = x^{2} y e^{2 x}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

$x^{2} e^{2 x}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $x^{2} e^{2 x}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} \int y d y$

단계 8.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

단계 8.3

답을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

$x^{2} e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ 을 $x^{2} e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

단계 8.3.2

간단히 합니다.

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단계 8.3.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} y^{2} + C$

단계 8.3.2.2

$\frac{x^{2}}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} y^{2} + C$

단계 8.3.2.3

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2} + C$

단계 8.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + C$

단계 9

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.3.2

$\frac{x^{2}}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.3.3

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.3.4

$\frac{y^{2}}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2}$ 의 미분은 $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$ 입니다.

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.3.5

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = e^{2 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.3.6

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 11.3.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.3.6.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.3.6.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.3.7

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.3.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.3.10

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.3.11

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.5

간단히 합니다.

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단계 11.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (2 e^{2 x})) + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.5.2

항을 묶습니다.

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단계 11.5.2.1

$x^{2}$ 와 $\frac{y^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} y^{2}}{2} (2 e^{2 x}) + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.5.2.2

$2$ 와 $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (x^{2} y^{2})}{2} e^{2 x} + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.5.2.3

$\frac{2 (x^{2} y^{2})}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (x^{2} y^{2}) e^{2 x}}{2} + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.5.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.5.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x^{2} y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.5.2.4.2

$x^{2} y^{2} e^{2 x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.5.2.5

$e^{2 x}$ 와 $\frac{y^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.5.2.6

$2$ 와 $\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{2 (e^{2 x} y^{2})}{2} x + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.5.2.7

$\frac{2 (e^{2 x} y^{2})}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{2 (e^{2 x} y^{2}) x}{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.5.2.8

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.5.2.8.1

공약수로 약분합니다.

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{2 e^{2 x} y^{2} x}{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.5.2.8.2

$e^{2 x} y^{2} x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + e^{2 x} y^{2} x + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} x^{2} y^{2} + e^{2 x} y^{2} x = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 11.5.4

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} x^{2} y^{2} + e^{2 x} y^{2} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + y^{2} x e^{2 x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

단계 12

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 12.1.1

방정식의 양변에서 $x^{2} y^{2} e^{2 x}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x e^{2 x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} - x^{2} y^{2} e^{2 x}$

단계 12.1.2

방정식의 양변에서 $y^{2} x e^{2 x}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} - x^{2} y^{2} e^{2 x} - y^{2} x e^{2 x}$

단계 12.1.3

$x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} - x^{2} y^{2} e^{2 x} - y^{2} x e^{2 x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 12.1.3.1

$x^{2} y^{2} e^{2 x}$ 에서 $x^{2} y^{2} e^{2 x}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} + 0 - y^{2} x e^{2 x}$

단계 12.1.3.2

$x y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} - y^{2} x e^{2 x}$

단계 12.1.3.3

인수가 항 $x y^{2} e^{2 x}$ 과(와) $- y^{2} x e^{2 x}$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} = e^{2 x} y^{2} x + 3 e^{2 x} - e^{2 x} y^{2} x$

단계 12.1.3.4

$e^{2 x} y^{2} x$ 에서 $e^{2 x} y^{2} x$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 3 e^{2 x} + 0$

단계 12.1.3.5

$3 e^{2 x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = 3 e^{2 x}$

단계 13

$3 e^{2 x}$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d x} = 3 e^{2 x}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 e^{2 x} d x$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int 3 e^{2 x} d x$

단계 13.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = 3 \int e^{2 x} d x$

단계 13.4

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 13.4.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 13.4.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 13.4.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 13.4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 13.4.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 13.4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$g (x) = 3 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

단계 13.5

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$g (x) = 3 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

단계 13.6

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = 3 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

단계 13.7

$\frac{1}{2}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$g (x) = \frac{3}{2} \int e^{u} d u$

단계 13.8

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$g (x) = \frac{3}{2} (e^{u} + C)$

단계 13.9

간단히 합니다.

$g (x) = \frac{3}{2} e^{u} + C$

단계 13.10

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$g (x) = \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

단계 14

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

단계 15

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 15.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

단계 15.1.2

$\frac{x^{2}}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} y^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

단계 15.1.3

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

단계 15.1.4

$\frac{3}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + C$

단계 15.2

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + C$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + C$