미적분 예제

$x y^{2} d y = (y^{3} - x^{3}) d x$

단계 1

완전미분 방정식 해법에 맞도록 미분 방정식을 다시 작성합니다.

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단계 1.1

방정식의 양변에서 $(y^{3} - x^{3}) d x$ 를 뺍니다.

$x y^{2} d y - (y^{3} - x^{3}) d x = 0$

단계 1.2

다시 씁니다.

$- (y^{3} - x^{3}) d x + x y^{2} d y = 0$

단계 2

$M (x, y) = - (y^{3} - x^{3})$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (y^{3} - x^{3})]$

단계 2.2

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- (y^{3} - x^{3})$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y^{3} - x^{3}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y^{3} - x^{3}]$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $y^{3} - x^{3}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{3}])$

단계 2.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- x^{3}])$

단계 2.5

$- x^{3}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- x^{3}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- x^{3}$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (3 y^{2} + 0)$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$3 y^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (3 y^{2})$

단계 2.6.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 y^{2}$

단계 3

$N (x, y) = x y^{2}$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

단계 3.2

$y^{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x y^{2}$ 의 미분은 $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \cdot 1$

단계 3.4

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2}$

단계 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 3 y^{2}$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $y^{2}$ 을 대입합니다.

$- 3 y^{2} = y^{2}$

단계 4.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$- 3 y^{2} = y^{2}$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 5

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 3 y^{2}$ 를 대입합니다.

$\frac{- 3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

단계 5.2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $y^{2}$ 를 대입합니다.

$\frac{- 3 y^{2} - y^{2}}{N}$

단계 5.3

$N$ 에 $x y^{2}$ 를 대입합니다.

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단계 5.3.1

$N$ 에 $x y^{2}$ 를 대입합니다.

$\frac{- 3 y^{2} - y^{2}}{x y^{2}}$

단계 5.3.2

$- 3 y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 4 y^{2}}{x y^{2}}$

단계 5.3.3

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 4 y^{2}}{x y^{2}}$

단계 5.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 4}{x}$

단계 5.3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4}{x}$

단계 5.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

단계 6

적분 $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ 을 구합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

단계 6.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

단계 6.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

단계 6.4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

단계 6.5

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

단계 6.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.6.1

$- 4$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 4 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

단계 6.6.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

단계 6.6.3

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x |}^{- 4}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

단계 6.6.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

단계 7

$- (y^{3} - x^{3}) d x + x y^{2} d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{x^{4}}$ 를 곱합니다.

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단계 7.1

$- (y^{3} - x^{3})$ 에 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 곱합니다.

$- (y^{3} - x^{3}) \frac{1}{x^{4}} d x + x y^{2} d y = 0$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(- y^{3} - - x^{3}) \frac{1}{x^{4}} d x + x y^{2} d y = 0$

단계 7.3

$- - x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 7.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(- y^{3} + 1 x^{3}) \frac{1}{x^{4}} d x + x y^{2} d y = 0$

단계 7.3.2

$x^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(- y^{3} + x^{3}) \frac{1}{x^{4}} d x + x y^{2} d y = 0$

단계 7.4

$- y^{3} + x^{3}$ 에 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 곱합니다.

$\frac{- y^{3} + x^{3}}{x^{4}} d x + x y^{2} d y = 0$

단계 7.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.5.1

$- y^{3}$ 을 ${(- y)}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(- y)}^{3} + x^{3}}{x^{4}} d x + x y^{2} d y = 0$

단계 7.5.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = - y$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{(- y + x) ({(- y)}^{2} - - y x + x^{2})}{x^{4}} d x + x y^{2} d y = 0$

단계 7.5.3

간단히 합니다.

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단계 7.5.3.1

$- y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{(- y + x) ({(- 1)}^{2} y^{2} - - y x + x^{2})}{x^{4}} d x + x y^{2} d y = 0$

단계 7.5.3.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{(- y + x) (1 y^{2} - - y x + x^{2})}{x^{4}} d x + x y^{2} d y = 0$

단계 7.5.3.3

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(- y + x) (y^{2} - - y x + x^{2})}{x^{4}} d x + x y^{2} d y = 0$

단계 7.5.3.4

$- - y$ 을 곱합니다.

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단계 7.5.3.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(- y + x) (y^{2} + 1 y x + x^{2})}{x^{4}} d x + x y^{2} d y = 0$

단계 7.5.3.4.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(- y + x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}} d x + x y^{2} d y = 0$

단계 7.6

$- y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(- (y) + x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}} d x + x y^{2} d y = 0$

단계 7.7

$x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(- (y) - 1 (- x)) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}} d x + x y^{2} d y = 0$

단계 7.8

$- (y) - 1 (- x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}} d x + x y^{2} d y = 0$

단계 7.9

$- (y - x)$ 을 $- 1 (y - x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}} d x + x y^{2} d y = 0$

단계 7.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}} d x + x y^{2} d y = 0$

단계 7.11

$x y^{2}$ 에 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}} d x + x y^{2} \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

단계 7.12

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.12.1

$x y^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}} d x + x (y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

단계 7.12.2

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}} d x + x (y^{2}) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

단계 7.12.3

공약수로 약분합니다.

$- \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}} d x + x y^{2} \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

단계 7.12.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

단계 7.13

$y^{2}$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}} d x + \frac{y^{2}}{x^{3}} d y = 0$

단계 8

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int \frac{y^{2}}{x^{3}} d y$

단계 9

$N (x, y) = \frac{y^{2}}{x^{3}}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 9.1

$\frac{1}{x^{3}}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{x^{3}}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \int y^{2} d y$

단계 9.2

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

단계 9.3

답을 간단히 합니다.

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단계 9.3.1

$\frac{1}{x^{3}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ 을 $\frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$

단계 9.3.2

간단히 합니다.

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단계 9.3.2.1

$\frac{1}{x^{3}}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3} \cdot 3} y^{3} + C$

단계 9.3.2.2

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f (x, y) = \frac{1}{3 \cdot x^{3}} y^{3} + C$

단계 9.3.2.3

$3$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{3 x^{3}} y^{3} + C$

단계 9.3.2.4

$\frac{1}{3 x^{3}}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + C$

단계 10

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$

단계 12

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 12.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)] = - \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$

단계 12.2

합의 법칙에 의해 $\frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$

단계 12.3

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 12.3.1

$\frac{y^{3}}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{y^{3}}{3 x^{3}}$ 의 미분은 $\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 입니다.

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$

단계 12.3.2

$\frac{1}{x^{3}}$ 을 ${(x^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$

단계 12.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 12.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{y^{3}}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$

단계 12.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y^{3}}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$

단계 12.3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{y^{3}}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$

단계 12.3.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y^{3}}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$

단계 12.3.5

${(x^{3})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 12.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{y^{3}}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$

단계 12.3.5.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{3}}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$

단계 12.3.6

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$

단계 12.3.7

지수를 더하여 $x^{- 6}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 12.3.7.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$

단계 12.3.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$

단계 12.3.7.3

$2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$

단계 12.3.8

$- 3$ 와 $\frac{y^{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3 y^{3}}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$

단계 12.3.9

$\frac{- 3 y^{3}}{3}$ 와 $x^{- 4}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3 y^{3} x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$

단계 12.3.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 4}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{- 3 y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$

단계 12.3.11

$- 3$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.3.11.1

$- 3 y^{3}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- y^{3})}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$

단계 12.3.11.2

공약수로 약분합니다.

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단계 12.3.11.2.1

$3 x^{4}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- y^{3})}{3 (x^{4})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$

단계 12.3.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (- y^{3})}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$

단계 12.3.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- y^{3}}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$

단계 12.3.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$

단계 12.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$- \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$

단계 12.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{3}}{x^{4}} = - \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$

단계 13

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 13.1.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 13.1.1.1

방정식의 양변에 $\frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}}$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}} = 0$

단계 13.1.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + (y - x) (y^{2} + y x + x^{2})}{x^{4}} = 0$

단계 13.1.1.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 13.1.1.3.1

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(y - x) (y^{2} + y x + x^{2})$ 를 전개합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + y \cdot y^{2} + y (y x) + y x^{2} - x y^{2} - x (y x) - x \cdot x^{2}}{x^{4}} = 0$

단계 13.1.1.3.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 13.1.1.3.2.1

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 13.1.1.3.2.1.1

$y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 13.1.1.3.2.1.1.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + y^{1} y^{2} + y (y x) + y x^{2} - x y^{2} - x (y x) - x \cdot x^{2}}{x^{4}} = 0$

단계 13.1.1.3.2.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + y^{1 + 2} + y (y x) + y x^{2} - x y^{2} - x (y x) - x \cdot x^{2}}{x^{4}} = 0$

단계 13.1.1.3.2.1.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + y^{3} + y (y x) + y x^{2} - x y^{2} - x (y x) - x \cdot x^{2}}{x^{4}} = 0$

단계 13.1.1.3.2.2

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 13.1.1.3.2.2.1

$y$ 를 옮깁니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + y^{3} + y \cdot y x + y x^{2} - x y^{2} - x (y x) - x \cdot x^{2}}{x^{4}} = 0$

단계 13.1.1.3.2.2.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + y^{3} + y^{2} x + y x^{2} - x y^{2} - x (y x) - x \cdot x^{2}}{x^{4}} = 0$

단계 13.1.1.3.2.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 13.1.1.3.2.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + y^{3} + y^{2} x + y x^{2} - x y^{2} - (x \cdot x) y - x \cdot x^{2}}{x^{4}} = 0$

단계 13.1.1.3.2.3.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + y^{3} + y^{2} x + y x^{2} - x y^{2} - x^{2} y - x \cdot x^{2}}{x^{4}} = 0$

단계 13.1.1.3.2.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 13.1.1.3.2.4.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + y^{3} + y^{2} x + y x^{2} - x y^{2} - x^{2} y - (x^{2} x)}{x^{4}} = 0$

단계 13.1.1.3.2.4.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 13.1.1.3.2.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + y^{3} + y^{2} x + y x^{2} - x y^{2} - x^{2} y - (x^{2} x^{1})}{x^{4}} = 0$

단계 13.1.1.3.2.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + y^{3} + y^{2} x + y x^{2} - x y^{2} - x^{2} y - x^{2 + 1}}{x^{4}} = 0$

단계 13.1.1.3.2.4.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + y^{3} + y^{2} x + y x^{2} - x y^{2} - x^{2} y - x^{3}}{x^{4}} = 0$

단계 13.1.1.3.3

$y^{3} + y^{2} x + y x^{2} - x y^{2} - x^{2} y - x^{3}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 13.1.1.3.3.1

인수가 항 $y^{2} x$ 과(와) $- x y^{2}$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + y^{3} + y^{2} x + y x^{2} - y^{2} x - x^{2} y - x^{3}}{x^{4}} = 0$

단계 13.1.1.3.3.2

$y^{2} x$ 에서 $y^{2} x$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + y^{3} + y x^{2} + 0 - x^{2} y - x^{3}}{x^{4}} = 0$

단계 13.1.1.3.3.3

$y^{3} + y x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + y^{3} + y x^{2} - x^{2} y - x^{3}}{x^{4}} = 0$

단계 13.1.1.3.3.4

인수가 항 $y x^{2}$ 과(와) $- x^{2} y$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + y^{3} + x^{2} y - x^{2} y - x^{3}}{x^{4}} = 0$

단계 13.1.1.3.3.5

$x^{2} y$ 에서 $x^{2} y$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + y^{3} + 0 - x^{3}}{x^{4}} = 0$

단계 13.1.1.3.3.6

$y^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + y^{3} - x^{3}}{x^{4}} = 0$

단계 13.1.1.4

$- y^{3}$ 를 $y^{3}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 - x^{3}}{x^{4}} = 0$

단계 13.1.1.5

$0$ 에서 $x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3}}{x^{4}} = 0$

단계 13.1.1.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 13.1.1.6.1

$x^{3}$ 및 $x^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.1.1.6.1.1

$- x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot - 1}{x^{4}} = 0$

단계 13.1.1.6.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 13.1.1.6.1.2.1

$x^{4}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot - 1}{x^{3} x} = 0$

단계 13.1.1.6.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot - 1}{x^{3} x} = 0$

단계 13.1.1.6.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x} = 0$

단계 13.1.1.6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x} = 0$

단계 13.1.2

방정식의 양변에 $\frac{1}{x}$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$

단계 14

$\frac{1}{x}$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 14.1

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x} d x$

단계 14.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 14.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$g (x) = \ln (| x |) + C$

단계 15

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + \ln (| x |) + C$