미적분 예제

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 y = \cos (2 x)$

단계 1

모든 해는 $y = e^{r x}$ 형식인 것으로 가정합니다.

단계 2

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 y = \cos (2 x)$ 에 대한 특성 방정식을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

단계 2.2

2차 도함수를 구합니다

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

단계 2.3

미분 방정식에 대입합니다.

$r^{2} e^{r x} + 4 e^{r x} = \cos (2 x)$

단계 2.4

$e^{r x}$ 로 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$r^{2} e^{r x}$ 에서 $e^{r x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r x} r^{2} + 4 e^{r x} = \cos (2 x)$

단계 2.4.2

$4 e^{r x}$ 에서 $e^{r x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 4 = \cos (2 x)$

단계 2.4.3

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 4$ 에서 $e^{r x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r x} (r^{2} + 4) = \cos (2 x)$

단계 2.5

지수는 절대 0이 될 수 없으므로 양쪽을 $e^{r x}$ 으로 나눕니다.

$r^{2} + 4 = \cos (2 x)$

단계 3

$r$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

배각 공식을 사용하여 $\cos (2 x)$ 를 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 로 바꿉니다.

$r^{2} + 4 = 1 - 2 \sin^{2} (x)$

단계 3.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$r^{2} = 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$r^{2} = - 3 - 2 \sin^{2} (x)$

단계 3.4

$r$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$r = \pm \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

단계 3.4.2

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

단계 3.4.2.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.