미적분 예제

$(x y) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = x y$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y]$

단계 1.2

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $x y$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1$

단계 1.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

단계 2

$N (x, y) = x^{2} + y^{2}$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.4

$y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

단계 2.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $x$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2 x$ 을 대입합니다.

$x = 2 x$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$x = 2 x$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2 x$ 를 대입합니다.

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 4.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $x$ 를 대입합니다.

$\frac{2 x - x}{M}$

단계 4.3

$M$ 에 $x y$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$M$ 에 $x y$ 를 대입합니다.

$\frac{2 x - x}{x y}$

단계 4.3.2

$2 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{x}{x y}$

단계 4.3.3

$M$ 에 $x y$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x}{x y}$

단계 4.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

단계 5

적분 $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

단계 5.2

답을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

단계 5.2.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = | y | + C$

단계 6

$x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $y$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$x y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$x y \cdot y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

단계 6.2

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1

$y$ 를 옮깁니다.

$x (y \cdot y) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

단계 6.2.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$x y^{2} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

단계 6.3

$x^{2} + y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$x y^{2} d x + (x^{2} + y^{2}) y d y = 0$

단계 6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{2} y) d y = 0$

단계 6.5

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 6.5.1

$y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 6.5.1.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{2} y^{1}) d y = 0$

단계 6.5.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{2 + 1}) d y = 0$

단계 6.5.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{3}) d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int x y^{2} d x$

단계 8

$M (x, y) = x y^{2}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

$y^{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $y^{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = y^{2} \int x d x$

단계 8.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

단계 8.3

답을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

$y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 을 $y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 8.3.2

간단히 합니다.

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단계 8.3.2.1

$y^{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

단계 8.3.2.2

$\frac{y^{2}}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

단계 8.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

단계 9

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + y^{3}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

단계 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

단계 11.3.2

$\frac{y^{2}}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

단계 11.3.3

$\frac{x^{2}}{2}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ 의 미분은 $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

단계 11.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

단계 11.3.5

$2$ 와 $\frac{x^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

단계 11.3.6

$\frac{2 x^{2}}{2}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

단계 11.3.7

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

단계 11.3.7.2

$x^{2} y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

단계 11.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + y^{3}$

단계 11.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = x^{2} y + y^{3}$

단계 12

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

$\frac{d g}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 12.1.1

방정식의 양변에서 $x^{2} y$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + y^{3} - x^{2} y$

단계 12.1.2

$x^{2} y + y^{3} - x^{2} y$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 12.1.2.1

$x^{2} y$ 에서 $x^{2} y$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = y^{3} + 0$

단계 12.1.2.2

$y^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = y^{3}$

단계 13

$y^{3}$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d y} = y^{3}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{3} d y$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int y^{3} d y$

단계 13.3

멱의 법칙에 의해 $y^{3}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} y^{4}$ 가 됩니다.

$g (y) = \frac{1}{4} y^{4} + C$

단계 14

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

단계 15

각 항을 간단히 합니다.

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단계 15.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

단계 15.2

$\frac{y^{2}}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

단계 15.3

$\frac{1}{4}$ 와 $y^{4}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{4} + C$