미적분 예제

$(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ , $y (\frac{π}{4}) = 1$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ 의 각 항을 $1 + \cos (2 x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ 의 각 항을 $1 + \cos (2 x)$ 로 나눕니다.

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \cos (2 x)} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

단계 1.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$1 + \cos (2 x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \cos (2 x)} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

단계 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

단계 1.2

식을 다시 씁니다.

$d y = \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + \cos (2 x)} d x$

단계 2.3.2

먼저 $u_{1} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$u_{1} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.3.2.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 2.3.2.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 2.3.2.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$\frac{1}{1 + \cos (u_{1})}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{(1 + \cos (u_{1})) \cdot 2} d u_{1}$

단계 2.3.3.2

$1 + \cos (u_{1})$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 (1 + \cos (u_{1}))} d u_{1}$

단계 2.3.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

단계 2.3.5.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

단계 2.3.5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = 1 \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

단계 2.3.5.3

$\int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

단계 2.3.6

배각 공식을 사용하여 $\cos (x)$ 를 $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

단계 2.3.7

피타고라스의 정리를 사용하여 $1$ 을(를) $\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ (으)로 변환합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

단계 2.3.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.1

${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ 에서 ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ 을 뺍니다.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{{\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

단계 2.3.8.2

${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ 를 ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ 에 더합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

단계 2.3.8.3

$2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

단계 2.3.9

인수에 $\frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})}$ 을(를) 곱합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

단계 2.3.10

조합합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{1 \sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

단계 2.3.11

${\sec (\frac{u}{2})}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

단계 2.3.12

$\sec (\frac{u}{2})$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2}} d u_{1}$

단계 2.3.13

$\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

단계 2.3.14

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

단계 2.3.15

$2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.15.1

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

단계 2.3.15.2

$\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ 와 $\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

단계 2.3.16

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y + C_{1} = \int \sec^{2} (\frac{u}{2}) \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

단계 2.3.17

$\sec (\frac{u}{2})$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2} \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

단계 2.3.18

$\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cdot \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

단계 2.3.19

조합합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

단계 2.3.20

$\cos^{2} (\frac{u}{2})$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.20.1

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

단계 2.3.20.2

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2}}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

단계 2.3.21

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

단계 2.3.22

$1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 (\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \cdot 1)} d u_{1}$

단계 2.3.23

분수를 나눕니다.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

단계 2.3.24

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}$ 을 $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ 로 변환합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

단계 2.3.25

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.25.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

단계 2.3.25.2

$\frac{1}{2}$ 와 $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{2} d u_{1}$

단계 2.3.26

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

단계 2.3.27

먼저 $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ 이므로 $2 d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.27.1

$u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.27.1.1

$\frac{u_{1}}{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

단계 2.3.27.1.2

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $\frac{u_{1}}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 2.3.27.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

단계 2.3.27.1.4

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2}$

단계 2.3.27.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

단계 2.3.28

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.28.1

$\frac{1}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2}$

단계 2.3.28.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \cdot 2 d u_{2}$

단계 2.3.28.3

$\sec^{2} (u_{2})$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

단계 2.3.29

$2$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

단계 2.3.30

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.30.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

단계 2.3.30.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.30.2.1

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

단계 2.3.30.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = 1 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

단계 2.3.30.3

$\int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

단계 2.3.31

$\tan (u_{2})$ 의 도함수는 $\sec^{2} (u_{2})$ 이므로, $\sec^{2} (u_{2})$ 의 적분값은 $\tan (u_{2})$ 이 됩니다.

$y + C_{1} = \tan (u_{2}) + C_{2}$

단계 2.3.32

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.32.1

$u_{2}$ 를 모두 $\frac{u_{1}}{2}$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = \tan (\frac{u_{1}}{2}) + C_{2}$

단계 2.3.32.2

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = \tan (\frac{2 x}{2}) + C_{2}$

단계 2.3.33

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.33.1

공약수를 소거하여 수식 $\frac{2 x}{2}$ 을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.33.1.1

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = \tan (\frac{2 x}{2}) + C_{2}$

단계 2.3.33.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \tan (\frac{x}{1}) + C_{2}$

단계 2.3.33.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = \tan (x) + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = \tan (x) + K$ 에서 $x$ 에 $\frac{π}{4}$ 을, $y$ 에 $1$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$1 = \tan (\frac{π}{4}) + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\tan (\frac{π}{4}) + K = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\tan (\frac{π}{4}) + K = 1$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$\tan (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$1 + K = 1$

단계 4.3

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$K = 1 - 1$

단계 4.3.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$K = 0$

단계 5

$y = \tan (x) + K$ 의 $K$ 에 $0$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$K$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$y = \tan (x) + 0$

단계 5.2

$\tan (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = \tan (x)$