미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = - 0.4 y$ , $y (0) = 90$

단계 1

변수를 분리합니다.

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단계 1.1

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- 0.4 y)$

단계 1.2

간단히 합니다.

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단계 1.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 0.4 \frac{1}{y} y$

단계 1.2.2

$- 0.4$ 와 $\frac{1}{y}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 0.4}{y} y$

단계 1.2.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 0.4}{y} y$

단계 1.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 0.4$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = - 0.4 d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - 0.4 d x$

단계 2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 0.4 d x$

단계 2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 0.4 x + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = - 0.4 x + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- 0.4 x + C}$

단계 3.2

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y |) = - 0.4 x + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- 0.4 x + C} = | y |$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.1

$| y | = e^{- 0.4 x + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y | = e^{- 0.4 x + C}$

단계 3.3.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm e^{- 0.4 x + C}$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

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단계 4.1

$e^{- 0.4 x + C}$ 을 $e^{- 0.4 x} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm e^{- 0.4 x} e^{C}$

단계 4.2

$e^{- 0.4 x}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm e^{C} e^{- 0.4 x}$

단계 4.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C e^{- 0.4 x}$

단계 5

초기 조건을 활용하여 $y = C e^{- 0.4 x}$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $90$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$90 = C e^{- 0.4 \cdot 0}$

단계 6

$C$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.1

$C e^{- 0.4 \cdot 0} = 90$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$C e^{- 0.4 \cdot 0} = 90$

단계 6.2

$C e^{- 0.4 \cdot 0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$- 0.4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$C e^{0} = 90$

단계 6.2.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$C \cdot 1 = 90$

단계 6.2.3

$C$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$C = 90$

단계 7

$y = C e^{- 0.4 x}$ 의 $C$ 에 $90$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 7.1

$C$ 에 $90$ 를 대입합니다.

$y = 90 e^{- 0.4 x}$