미적분 예제

$\frac{d u}{d r} = \frac{1 + \sqrt{r}}{1 + \sqrt{u}}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $1 + \sqrt{u}$ 을 곱합니다.

$(1 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = (1 + \sqrt{u}) \frac{1 + \sqrt{r}}{1 + \sqrt{u}}$

단계 1.2

$1 + \sqrt{u}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$(1 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = (1 + \sqrt{u}) \frac{1 + \sqrt{r}}{1 + \sqrt{u}}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$(1 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = 1 + \sqrt{r}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$(1 + \sqrt{u}) d u = (1 + \sqrt{r}) d r$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int 1 + \sqrt{u} d u = \int 1 + \sqrt{r} d r$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int d u + \int \sqrt{u} d u = \int 1 + \sqrt{r} d r$

단계 2.2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$u + C_{1} + \int \sqrt{u} d u = \int 1 + \sqrt{r} d r$

단계 2.2.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$u + C_{1} + \int u^{\frac{1}{2}} d u = \int 1 + \sqrt{r} d r$

단계 2.2.4

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$u + C_{1} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2} = \int 1 + \sqrt{r} d r$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

$u + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{3} = \int 1 + \sqrt{r} d r$

단계 2.2.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = \int 1 + \sqrt{r} d r$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = \int d r + \int \sqrt{r} d r$

단계 2.3.2

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = r + C_{4} + \int \sqrt{r} d r$

단계 2.3.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{r}$ 을(를) $r^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = r + C_{4} + \int r^{\frac{1}{2}} d r$

단계 2.3.4

멱의 법칙에 의해 $r^{\frac{1}{2}}$ 를 $r$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = r + C_{4} + \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C_{5}$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = r + \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C_{6}$

단계 2.3.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + r + C_{6}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u = \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + r + K$