미적분 예제

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = x^{2} + 6 x$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = x^{2} + 6 x$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{6 x}{x}$

단계 1.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{6 x}{x}$

단계 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{6 x}{x}$

단계 1.3

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x} + \frac{6 x}{x}$

단계 1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \frac{6 x}{x}$

단계 1.3.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{6 x}{x}$

단계 1.3.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{6 x}{x}$

단계 1.3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x}{1} + \frac{6 x}{x}$

단계 1.3.2.5

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = x + \frac{6 x}{x}$

단계 1.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = x + \frac{6 x}{x}$

단계 1.4.2

$6$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = x + 6$

단계 1.5

$\frac{2 y}{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = x + 6$

단계 1.6

$y$ 와 $\frac{2}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = x + 6$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{2}{x}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

단계 2.2

$\frac{2}{x}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

단계 2.2.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

단계 2.2.3

간단히 합니다.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{2 \ln (x)}$

단계 2.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln (x^{2})}$

단계 2.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x^{2}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} x + x^{2} \cdot 6$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\frac{2}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} x + x^{2} \cdot 6$

단계 3.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x + x^{2} \cdot 6$

단계 3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x + x^{2} \cdot 6$

단계 3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} x + x^{2} \cdot 6$

단계 3.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} x + x^{2} \cdot 6$

단계 3.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 6$

단계 3.3.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 6$

단계 3.3.1.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{3} + x^{2} \cdot 6$

단계 3.3.2

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{3} + 6 x^{2}$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{3} + 6 x^{2}$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{3} + 6 x^{2} d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$x^{2} y = \int x^{3} + 6 x^{2} d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$x^{2} y = \int x^{3} d x + \int 6 x^{2} d x$

단계 7.2

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$x^{2} y = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int 6 x^{2} d x$

단계 7.3

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x^{2} y = \frac{1}{4} x^{4} + C + 6 \int x^{2} d x$

단계 7.4

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$x^{2} y = \frac{1}{4} x^{4} + C + 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

단계 7.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

간단히 합니다.

$x^{2} y = \frac{1}{4} x^{4} + 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

단계 7.5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.2.1

$6$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$x^{2} y = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{6}{3} x^{3} + C$

단계 7.5.2.2

$6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.2.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} y = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C$

단계 7.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.2.2.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} y = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C$

단계 7.5.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{2} y = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C$

단계 7.5.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} y = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{1} x^{3} + C$

단계 7.5.2.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} y = \frac{1}{4} x^{4} + 2 x^{3} + C$

단계 8

$x^{2} y = \frac{1}{4} x^{4} + 2 x^{3} + C$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$x^{2} y = \frac{1}{4} x^{4} + 2 x^{3} + C$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x^{2}} + \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x^{2}} + \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 8.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x^{2}} + \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

$x^{4}$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.1

$\frac{1}{4} x^{4}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{4} x^{2})}{x^{2}} + \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 8.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{4} x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 8.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{4} x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 8.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\frac{1}{4} x^{2}}{1} + \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 8.3.1.1.2.4

$\frac{1}{4} x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{1}{4} x^{2} + \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 8.3.1.2

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 8.3.1.3

$x^{3}$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.3.1

$2 x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 8.3.1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.3.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 8.3.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 8.3.1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 x}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 8.3.1.3.2.4

$2 x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + \frac{C}{x^{2}}$