미적분 예제

$\frac{d y}{d t} - y = 1$ , $y (0) = 1$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (t) d t}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (t) = - 1$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - 1 d t}$

단계 1.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{- t + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- t}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $e^{- t}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 항에 $e^{- t}$ 을 곱합니다.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} + e^{- t} (- y) = e^{- t} \cdot 1$

단계 2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} \cdot 1$

단계 2.3

$e^{- t}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t}$

단계 2.4

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - y e^{- t} = e^{- t}$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d t} [e^{- t} y] = e^{- t}$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t} y] d t = \int e^{- t} d t$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$e^{- t} y = \int e^{- t} d t$

단계 6

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

먼저 $u = - t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d t$ 이므로 $- d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$u = - t$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1

$- t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [- t]$

단계 6.1.1.2

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$- \frac{d}{d t} [t]$

단계 6.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 6.1.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 6.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{- t} y = \int - e^{u} d u$

단계 6.2

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- t} y = - \int e^{u} d u$

단계 6.3

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{- t} y = - (e^{u} + C)$

단계 6.4

간단히 합니다.

$e^{- t} y = - e^{u} + C$

단계 6.5

$u$ 를 모두 $- t$ 로 바꿉니다.

$e^{- t} y = - e^{- t} + C$

단계 7

$e^{- t} y = - e^{- t} + C$ 의 각 항을 $e^{- t}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$e^{- t} y = - e^{- t} + C$ 의 각 항을 $e^{- t}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$e^{- t}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

단계 7.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$e^{- t}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

단계 7.3.1.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = - 1 + \frac{C}{e^{- t}}$

단계 8

초기 조건을 활용하여 $y = - 1 + \frac{C}{e^{- t}}$ 에서 $t$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $1$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$1 = - 1 + \frac{C}{e^{0}}$

단계 9

$C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 1$

단계 9.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$- 1 + \frac{C}{1} = 1$

단계 9.2.2

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1 + C = 1$

단계 9.3

$C$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$C = 1 + 1$

단계 9.3.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$C = 2$

단계 10

$y = - 1 + \frac{C}{e^{- t}}$ 의 $C$ 에 $2$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 10.1

$C$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$y = - 1 + \frac{2}{e^{- t}}$