미적분 예제

$e^{x} d y + (e^{x} + 1) d x = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $(e^{x} + 1) d x$ 를 뺍니다.

$e^{x} d y = - (e^{x} + 1) d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{e^{x}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

단계 3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$1 d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$1 d y = - \frac{1}{e^{x}} (e^{x} + 1) d x$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$1 d y = (- \frac{1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

단계 3.4

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$- \frac{1}{e^{x}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$1 d y = (\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

단계 3.4.2

공약수로 약분합니다.

$1 d y = (\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

단계 3.4.3

수식을 다시 씁니다.

$1 d y = (- 1 - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

단계 3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 d y = (- 1 - \frac{1}{e^{x}}) d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int - 1 - \frac{1}{e^{x}} d x$

단계 4.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int - 1 - \frac{1}{e^{x}} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

단계 4.3.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

단계 4.3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{1}{e^{x}} d x$

단계 4.3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

$e^{x}$ 의 지수의 부호를 반대로 바꾸고 분모 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

단계 4.3.4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.2.1

${(e^{x})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

단계 4.3.4.2.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

단계 4.3.4.2.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{- x} d x$

단계 4.3.4.2.2

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int e^{- x} d x$

단계 4.3.5

먼저 $u = - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1

$u = - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1.1

$- x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- x]$

단계 4.3.5.1.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.3.5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 4.3.5.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 4.3.5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int - e^{u} d u$

단계 4.3.6

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - - \int e^{u} d u$

단계 4.3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = - x + C_{2} + 1 \int e^{u} d u$

단계 4.3.7.2

$\int e^{u} d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = - x + C_{2} + \int e^{u} d u$

단계 4.3.8

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$y + C_{1} = - x + C_{2} + e^{u} + C_{3}$

단계 4.3.9

간단히 합니다.

$y + C_{1} = - x + e^{u} + C_{4}$

단계 4.3.10

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = - x + e^{- x} + C_{4}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = - x + e^{- x} + K$