미적분 예제

$6 y \frac{d y}{d x} = 5 x^{2}$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$6 y d y = 5 x^{2} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int 6 y d y = \int 5 x^{2} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$6$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 \int y d y = \int 5 x^{2} d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 5 x^{2} d x$

단계 2.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ 을 $6 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$6 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

단계 2.2.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.1

$6$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{6}{2} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

단계 2.2.3.2.2

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 3}{2} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

단계 2.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

단계 2.2.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

단계 2.2.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{1} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

단계 2.2.3.2.2.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 y^{2} + C_{1} = 5 \int x^{2} d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$3 y^{2} + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

단계 2.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ 을 $5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 y^{2} + C_{1} = 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

단계 2.3.3.2

$5$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$3 y^{2} + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$3 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$3 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$3 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{3} + \frac{K}{3}$

단계 3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{3} + \frac{K}{3}$

단계 3.1.2.1.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{3} + \frac{K}{3}$

단계 3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1.1

$\frac{5}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = \frac{\frac{5 x^{3}}{3}}{3} + \frac{K}{3}$

단계 3.1.3.1.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{K}{3}$

단계 3.1.3.1.3

조합합니다.

$y^{2} = \frac{5 x^{3} \cdot 1}{3 \cdot 3} + \frac{K}{3}$

단계 3.1.3.1.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{3 \cdot 3} + \frac{K}{3}$

단계 3.1.3.1.5

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K}{3}$

단계 3.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K}{3}}$

단계 3.3

$\pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K}{3}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{K}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K}{3} \cdot \frac{3}{3}}$

단계 3.3.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $9$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$\frac{K}{3}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

단계 3.3.2.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K \cdot 3}{9}}$

단계 3.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3} + K \cdot 3}{9}}$

단계 3.3.4

$K$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3} + 3 K}{9}}$

단계 3.3.5

$\frac{5 x^{3} + 3 K}{9}$ 을 ${(\frac{1}{3})}^{2} (5 x^{3} + 3 K)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1

$5 x^{3} + 3 K$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (5 x^{3} + 3 K)}{9}}$

단계 3.3.5.2

$9$ 에서 완전제곱인 $3^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (5 x^{3} + 3 K)}{3^{2} \cdot 1}}$

단계 3.3.5.3

분수 $\frac{1^{2} (5 x^{3} + 3 K)}{3^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (5 x^{3} + 3 K)}$

단계 3.3.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{5 x^{3} + 3 K}$

단계 3.3.7

$\frac{1}{3}$ 와 $\sqrt{5 x^{3} + 3 K}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

단계 3.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

단계 3.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

단계 3.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt{5 x^{3} + K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x^{3} + K}}{3}$