미적분 예제

$\frac{y d y}{t d t} = e^{t^{2}}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d t}$ 을 인수분해합니다.

$\frac{y}{t} \frac{d y}{d t} = e^{t^{2}}$

단계 1.2

$\frac{d y}{d t}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$\frac{y}{t}$ 와 $\frac{d y}{d t}$ 을 묶습니다.

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{t} = e^{t^{2}}$

단계 1.2.2

양변에 $t$ 을 곱합니다.

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{t} t = e^{t^{2}} t$

단계 1.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1.1

$t$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{t} t = e^{t^{2}} t$

단계 1.2.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d t} = e^{t^{2}} t$

단계 1.2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$e^{t^{2}} t$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y \frac{d y}{d t} = t e^{t^{2}}$

단계 1.2.4

$y \frac{d y}{d t} = t e^{t^{2}}$ 의 각 항을 $y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$y \frac{d y}{d t} = t e^{t^{2}}$ 의 각 항을 $y$ 로 나눕니다.

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{y} = \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

단계 1.2.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{y} = \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

단계 1.2.4.2.1.2

$\frac{d y}{d t}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d t} = \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

단계 1.3

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

단계 1.4

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

공약수로 약분합니다.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

단계 1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d t} = t e^{t^{2}}$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$y d y = t e^{t^{2}} d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y d y = \int t e^{t^{2}} d t$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int t e^{t^{2}} d t$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

먼저 $u = t^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 t d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = t d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$u = t^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.1

$t^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [t^{2}]$

단계 2.3.1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 t$

단계 2.3.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2.3.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

단계 2.3.3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

단계 2.3.4

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

단계 2.3.6

$u$ 를 모두 $t^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{t^{2}} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} e^{t^{2}} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{t^{2}}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = 2 (\frac{e^{t^{2}}}{2} + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 2 \frac{e^{t^{2}}}{2} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$y^{2} = 2 \frac{e^{t^{2}}}{2} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = e^{t^{2}} + 2 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

단계 3.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

단계 3.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

단계 3.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + K}$

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + K}$