미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + 3 y = x + e^{- 2 x}$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = 3$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int 3 d x}$

단계 1.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{3 x + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{3 x}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $e^{3 x}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1

각 항에 $e^{3 x}$ 을 곱합니다.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} x + e^{3 x} e^{- 2 x}$

단계 2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{3 x} e^{- 2 x}$

단계 2.3

지수를 더하여 $e^{3 x}$ 에 $e^{- 2 x}$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{3 x - 2 x}$

단계 2.3.2

$3 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{x}$

단계 2.4

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = x e^{3 x} + e^{x}$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = x e^{3 x} + e^{x}$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int x e^{3 x} + e^{x} d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$e^{3 x} y = \int x e^{3 x} + e^{x} d x$

단계 6

우변을 적분합니다.

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단계 6.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$e^{3 x} y = \int x e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

단계 6.2

$u = x$ 이고 $d v = e^{3 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{3 x} y = x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

단계 6.3

간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$\frac{1}{3}$ 와 $e^{3 x}$ 을 묶습니다.

$e^{3 x} y = x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

단계 6.3.2

$x$ 와 $\frac{e^{3 x}}{3}$ 을 묶습니다.

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

단계 6.4

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x) + \int e^{x} d x$

단계 6.5

먼저 $u = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 6.5.1

$u = 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.5.1.1

$3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 6.5.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 6.5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 6.5.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 6.5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u + \int e^{x} d x$

단계 6.6

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int e^{x} d x$

단계 6.7

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u) + \int e^{x} d x$

단계 6.8

간단히 합니다.

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단계 6.8.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u + \int e^{x} d x$

단계 6.8.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u + \int e^{x} d x$

단계 6.9

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C) + \int e^{x} d x$

단계 6.10

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C) + e^{x} + C$

단계 6.11

간단히 합니다.

$e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + e^{x} + C$

단계 6.12

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + e^{x} + C$

단계 7

$e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + e^{x} + C$ 의 각 항을 $e^{3 x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + e^{x} + C$ 의 각 항을 $e^{3 x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$e^{3 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1

$e^{3 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.3.1.1.2

$\frac{1}{3} x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.3.1.2

$e^{3 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.3.1.2.2

$- \frac{1}{9}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.3.1.3

$e^{x}$ 및 $e^{3 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.3.1

$e^{x}$ 에서 $e^{3 x}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.3.1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.3.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.3.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.3.1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{- 2 x}}{1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.3.1.3.2.4

$e^{- 2 x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.3.2

$\frac{1}{3} x$ 에서 $\frac{1}{9}$ 을 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$y = x \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $x \frac{1}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$y = x \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.3.2.3

$x \frac{1}{3}$ 와 $\frac{9}{9}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{x \frac{1}{3} \cdot 9}{9} - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{x \frac{1}{3} \cdot 9 - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.3.1

$x$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\frac{x}{3} \cdot 9 - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.3.3.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.3.2.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\frac{x}{3} \cdot (3 (3)) - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\frac{x}{3} \cdot (3 \cdot 3) - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{x \cdot 3 - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.3.3.3

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$y = \frac{3 x - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $e^{- 2 x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{3 x - 1}{9} + e^{- 2 x} \cdot \frac{9}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.3.5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.5.1

$e^{- 2 x}$ 와 $\frac{9}{9}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{3 x - 1}{9} + \frac{e^{- 2 x} \cdot 9}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.3.5.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{3 x - 1 + e^{- 2 x} \cdot 9}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.3.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.6.1

$e^{- 2 x}$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$y = \frac{3 x - 1 + 9 \cdot e^{- 2 x}}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.3.6.2

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.3.7

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9}$ 을 표현하기 위해 $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

단계 7.3.8

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{C}{e^{3 x}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

단계 7.3.9

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $9 e^{3 x}$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.9.1

$\frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9}$ 에 $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

단계 7.3.9.2

$\frac{C}{e^{3 x}}$ 에 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{e^{3 x} \cdot 9}$

단계 7.3.9.3

$e^{3 x} \cdot 9$ 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

단계 7.3.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

단계 7.3.11

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{- 2 x} e^{3 x} - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

단계 7.3.11.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.11.2.1

지수를 더하여 $e^{- 2 x}$ 에 $e^{3 x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.11.2.1.1

$e^{3 x}$ 를 옮깁니다.

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 (e^{3 x} e^{- 2 x}) - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

단계 7.3.11.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{3 x - 2 x} - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

단계 7.3.11.2.1.3

$3 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{x} - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

단계 7.3.11.2.2

$- 1 e^{3 x}$ 을 $- e^{3 x}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{x} - e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

단계 7.3.11.3

$C$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{x} - e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$