미적분 예제

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} = 0$

단계 1

$v = \frac{d y}{d x}$ 로 두면 $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 입니다. $v$ 를 $\frac{d y}{d x}$ 에 대입하고, $\frac{d v}{d x}$ 를 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 에 대입하여 종속 변수 $v$ 와 독립 변수 $x$ 로 미분 방정식을 구합니다.

$\frac{d v}{d x} + 3 v = 0$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = 3$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int 3 d x}$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{3 x + C_{1}}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{3 x}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $e^{3 x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $e^{3 x}$ 을 곱합니다.

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + e^{3 x} (3 v) = e^{3 x} \cdot 0$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = e^{3 x} \cdot 0$

단계 3.3

$e^{3 x}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = 0$

단계 3.4

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = 0$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 v e^{3 x} = 0$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} v] = 0$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} v] d x = \int 0 d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$e^{3 x} v = \int 0 d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$0$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $0$ 입니다.

$e^{3 x} v = 0 + C_{2}$

단계 7.2

$0$ 를 $C_{2}$ 에 더합니다.

$e^{3 x} v = C_{2}$

단계 8

$e^{3 x} v = C_{2}$ 의 각 항을 $e^{3 x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$e^{3 x} v = C_{2}$ 의 각 항을 $e^{3 x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{3 x} v}{e^{3 x}} = \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$e^{3 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{3 x} v}{e^{3 x}} = \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

단계 8.2.1.2

$v$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v = \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

단계 9

$v$ 를 모두 $\frac{d y}{d x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

단계 10

식을 다시 씁니다.

$d y = \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

단계 11

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

단계 11.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{3} = \int \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

단계 11.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$C_{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $C_{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{3} = C_{2} \int \frac{1}{e^{3 x}} d x$

단계 11.3.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.1

$e^{3 x}$ 의 지수의 부호를 반대로 바꾸고 분모 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 {(e^{3 x})}^{- 1} d x$

단계 11.3.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.2.1

${(e^{3 x})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{3 x \cdot - 1} d x$

단계 11.3.2.2.1.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{- 3 x} d x$

단계 11.3.2.2.2

$e^{- 3 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{- 3 x} d x$

단계 11.3.3

먼저 $u = - 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 3 d x$ 이므로 $- \frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.3.1

$u = - 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.3.1.1

$- 3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 11.3.3.1.2

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 11.3.3.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 \cdot 1$

단계 11.3.3.1.4

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3$

단계 11.3.3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

단계 11.3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.4.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

단계 11.3.4.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$y + C_{3} = C_{2} \int - \frac{e^{u}}{3} d u$

단계 11.3.5

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{3} = C_{2} (- \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

단계 11.3.6

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{3} = C_{2} (- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

단계 11.3.7

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$y + C_{3} = C_{2} (- \frac{1}{3} (e^{u} + C_{4}))$

단계 11.3.8

간단히 합니다.

$y + C_{3} = C_{2} (- \frac{1}{3} e^{u}) + C_{5}$

단계 11.3.9

$u$ 를 모두 $- 3 x$ 로 바꿉니다.

$y + C_{3} = C_{2} (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) + C_{5}$

단계 11.3.10

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{3} = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C_{2} + C_{5}$

단계 11.4

우변에 적분 상수를 $D$ 로 묶습니다.

$y = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C + D$