미적분 예제

$(\tan (x) - \sin (x) \sin (y)) d x + (\cos (x) \cos (y)) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\tan (x) - \sin (x) \sin (y)]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $\tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\tan (x)] + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\tan (x)] + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$

단계 1.2.2

$\tan (x)$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $\tan (x)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\tan (x)$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- \sin (x)$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- \sin (x) \sin (y)$ 의 미분은 $- \sin (x) \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \sin (x) \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

단계 1.3.2

$\sin (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\cos (y)$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \sin (x) \cos (y)$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

$0$ 에서 $\sin (x) \cos (y)$ 을 뺍니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x) \cos (y)$

단계 1.4.2

$- \sin (x) \cos (y)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \cos (y) \sin (x)$

단계 2

$N (x, y) = \cos (x) \cos (y)$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \cos (y)]$

단계 2.2

$\cos (y)$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\cos (x) \cos (y)$ 의 미분은 $\cos (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 2.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) (- \sin (x))$

단계 2.4

$\cos (y) (- \sin (x))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \cos (y) \sin (x)$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- \cos (y) \sin (x)$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- \cos (y) \sin (x)$ 을 대입합니다.

$- \cos (y) \sin (x) = - \cos (y) \sin (x)$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$- \cos (y) \sin (x) = - \cos (y) \sin (x)$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int \cos (x) \cos (y) d y$

단계 5

$N (x, y) = \cos (x) \cos (y)$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$\cos (x)$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\cos (x)$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = \cos (x) \int \cos (y) d y$

단계 5.2

$\cos (y)$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\sin (y)$ 입니다.

$f (x, y) = \cos (x) (\sin (y) + C)$

단계 5.3

간단히 합니다.

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + C$

단계 6

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + g (x)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y) + g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

단계 8.2

합의 법칙에 의해 $\cos (x) \sin (y) + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

단계 8.3

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.3.1

$\sin (y)$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\cos (x) \sin (y)$ 의 미분은 $\sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$\sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

단계 8.3.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\sin (y) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

단계 8.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$\sin (y) (- \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

단계 8.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

단계 9

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1.1

우변을 간단히 합니다.

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단계 9.1.1.1

$\tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ 을 간단히 합니다.

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단계 9.1.1.1.1

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) \sin (y)$

단계 9.1.1.1.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

단계 9.1.2

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.1.2.1

방정식의 양변에 $\sin (x) \sin (y)$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)$

단계 9.1.2.2

$\tan (x) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.1.2.2.1

$- \sin (x) \sin (y)$ 를 $\sin (x) \sin (y)$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = \tan (x) + 0$

단계 9.1.2.2.2

$\tan (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = \tan (x)$

단계 9.1.2.3

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{d g}{d x} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

단계 9.1.2.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{d g}{d x} = \tan (x)$

단계 10

$\tan (x)$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d x} = \tan (x)$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \tan (x) d x$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int \tan (x) d x$

단계 10.3

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sec (x) |)$ 입니다.

$g (x) = \ln (| \sec (x) |) + C$

단계 11

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + \ln (| \sec (x) |) + C$