미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + (\frac{1}{x}) y = 3 x + 4$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{1}{x}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

단계 1.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{\ln (| x |) + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{\ln (x)}$

단계 1.4

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x$

단계 2

각 항에 적분 인수 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 항에 $x$ 을 곱합니다.

$x \frac{d y}{d x} + x ((\frac{1}{x}) y) = x (3 x) + x \cdot 4$

단계 2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{1}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (3 x) + x \cdot 4$

단계 2.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (3 x) + x \cdot 4$

단계 2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (3 x) + x \cdot 4$

단계 2.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x \cdot x + x \cdot 4$

단계 2.3.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 (x \cdot x) + x \cdot 4$

단계 2.3.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x^{2} + x \cdot 4$

단계 2.3.3

$x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x^{2} + 4 x$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x y] = 3 x^{2} + 4 x$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 3 x^{2} + 4 x d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$x y = \int 3 x^{2} + 4 x d x$

단계 6

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$x y = \int 3 x^{2} d x + \int 4 x d x$

단계 6.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x y = 3 \int x^{2} d x + \int 4 x d x$

단계 6.3

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 4 x d x$

단계 6.4

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 \int x d x$

단계 6.5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

단계 6.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.1

간단히 합니다.

$x y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

단계 6.6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.2.1

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

단계 6.6.2.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

단계 6.6.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x y = 1 x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

단계 6.6.2.3

$x^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x y = x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

단계 6.6.2.4

$4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$x y = x^{3} + \frac{4}{2} x^{2} + C$

단계 6.6.2.5

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.2.5.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x y = x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C$

단계 6.6.2.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.2.5.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x y = x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C$

단계 6.6.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$x y = x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

단계 6.6.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x y = x^{3} + \frac{2}{1} x^{2} + C$

단계 6.6.2.5.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x y = x^{3} + 2 x^{2} + C$

단계 7

$x y = x^{3} + 2 x^{2} + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$x y = x^{3} + 2 x^{2} + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{x^{3}}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1

$x^{3}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.3.1.1.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.3.1.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.3.1.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.3.1.1.2.5

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = x^{2} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.3.1.2

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.2.1

$2 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = x^{2} + \frac{x (2 x)}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = x^{2} + \frac{x (2 x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

단계 7.3.1.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = x^{2} + \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

단계 7.3.1.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$y = x^{2} + \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

단계 7.3.1.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y = x^{2} + \frac{2 x}{1} + \frac{C}{x}$

단계 7.3.1.2.2.5

$2 x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = x^{2} + 2 x + \frac{C}{x}$