미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$ , $y (0) = 11$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $2 y - 1$ 을 곱합니다.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

단계 1.2

$2 y - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 5$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$(2 y - 1) d y = (x^{2} + 5) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int 2 y - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 2 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

단계 2.2.2

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

단계 2.2.3

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

단계 2.2.4

상수 규칙을 적용합니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

단계 2.2.5.2

간단히 합니다.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} + 5 d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int 5 d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int 5 d x$

단계 2.3.3

상수 규칙을 적용합니다.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + 5 x + C_{5}$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + C_{6}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y^{2} - y = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$y^{2} - y = \frac{x^{3}}{3} + 5 x + K$

단계 3.2

모든 수식을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

방정식의 양변에서 $\frac{x^{3}}{3}$ 를 뺍니다.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} = 5 x + K$

단계 3.2.2

방정식의 양변에서 $5 x$ 를 뺍니다.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x = K$

단계 3.2.3

방정식의 양변에서 $K$ 를 뺍니다.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x - K = 0$

단계 3.3

식 전체에 최소공분모 $3$ 을 곱한 다음 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 y^{2} + 3 (- y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

단계 3.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

단계 3.3.2.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

$- \frac{x^{3}}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

단계 3.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

단계 3.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

단계 3.3.2.3

$- 5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x + 3 (- K) = 0$

단계 3.3.2.4

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x - 3 K = 0$

단계 3.3.3

$- 15 x$ 를 옮깁니다.

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 3 K - 15 x = 0$

단계 3.3.4

$- 3 y$ 를 옮깁니다.

$3 y^{2} - x^{3} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

단계 3.3.5

$3 y^{2}$ 와 $- x^{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$- x^{3} + 3 y^{2} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

단계 3.4

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3.5

이차함수의 근의 공식에 $a = 3$ , $b = - 3$ , $c = - x^{3} - 3 K - 15 x$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x))}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.1.2

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 (- x^{3}) - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.4.1

$- 1$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.1.4.2

$- 3$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.1.4.3

$- 15$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.1.5

$9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.5.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.1.5.2

$12 x^{3}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.1.5.3

$36 K$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 180 x}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.1.5.4

$180 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.1.5.5

$3 (3) + 3 (4 x^{3})$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.1.5.6

$3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.1.5.7

$3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

단계 3.7

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

단계 5

$y$ 가 초기 조건 $(0, 11)$ 에서 양수이므로 $y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ 만 고려하여 $K$ 를 구합니다. $x$ 에 $0$ 를 대입하고 $y$ 에 $11$ 를 대입합니다.

$11 = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6}$

단계 6

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$

단계 6.2

양변에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

단계 6.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

단계 6.3.1.1.1.2

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

단계 6.3.1.1.1.3

$60$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

단계 6.3.1.1.1.4

$3 + 0 + K$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

단계 6.3.1.1.1.5

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

단계 6.3.1.1.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.2.1

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

단계 6.3.1.1.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$3 + \sqrt{3 (3 + K)} = 11 \cdot 6$

단계 6.3.1.1.2.2

$3$ 와 $K$ 을 다시 정렬합니다.

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 11 \cdot 6$

단계 6.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$11$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 66$

단계 6.4

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$\sqrt{3 (K + 3)}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1.1

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$\sqrt{3 (K + 3)} = 66 - 3$

단계 6.4.1.2

$66$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\sqrt{3 (K + 3)} = 63$

단계 6.4.2

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${\sqrt{3 (K + 3)}}^{2} = 63^{2}$

단계 6.4.3

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3 (K + 3)}$ 을(를) ${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 63^{2}$

단계 6.4.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.3.2.1

${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.3.2.1.1

${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.3.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

단계 6.4.3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

단계 6.4.3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(3 (K + 3))}^{1} = 63^{2}$

단계 6.4.3.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

${(3 K + 3 \cdot 3)}^{1} = 63^{2}$

단계 6.4.3.2.1.3

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.3.2.1.3.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

${(3 K + 9)}^{1} = 63^{2}$

단계 6.4.3.2.1.3.2

간단히 합니다.

$3 K + 9 = 63^{2}$

단계 6.4.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.3.3.1

$63$ 를 $2$ 승 합니다.

$3 K + 9 = 3969$

단계 6.4.4

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.4.1

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.4.1.1

방정식의 양변에서 $9$ 를 뺍니다.

$3 K = 3969 - 9$

단계 6.4.4.1.2

$3969$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$3 K = 3960$

단계 6.4.4.2

$3 K = 3960$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.4.2.1

$3 K = 3960$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

단계 6.4.4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.4.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.4.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

단계 6.4.4.2.2.1.2

$K$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$K = \frac{3960}{3}$

단계 6.4.4.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.4.2.3.1

$3960$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$K = 1320$

단계 7

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ 의 $K$ 에 $1320$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$K$ 에 $1320$ 를 대입합니다.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 1320 + 60 x)}}{6}$

단계 7.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$3$ 를 $1320$ 에 더합니다.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 1323 + 60 x)}}{6}$

단계 7.2.2

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 60 x + 1323)}}{6}$