미적분 예제

$x \cdot \frac{d y}{d x} + y = x^{4} \ln (x)$

단계 1

방정식 좌변이 $x y$ 항의 도함수 결과값인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x y' + y \cdot 1$

단계 1.4

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

단계 1.5

$y$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

단계 1.6

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x \frac{d y}{d x} + y$

단계 2

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x y] = x^{4} \ln (x)$

단계 3

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x^{4} \ln (x) d x$

단계 4

좌변을 적분합니다.

$x y = \int x^{4} \ln (x) d x$

단계 5

우변을 적분합니다.

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단계 5.1

$u = \ln (x)$ 이고 $d v = x^{4}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x y = \ln (x) (\frac{1}{5} x^{5}) - \int \frac{1}{5} x^{5} \frac{1}{x} d x$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$\frac{1}{5}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$x y = \ln (x) \frac{x^{5}}{5} - \int \frac{1}{5} x^{5} \frac{1}{x} d x$

단계 5.2.2

$\ln (x)$ 와 $\frac{x^{5}}{5}$ 을 묶습니다.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \int \frac{1}{5} x^{5} \frac{1}{x} d x$

단계 5.3

$\frac{1}{5}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int x^{5} \frac{1}{x} d x)$

단계 5.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$x^{5}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x^{5}}{x} d x)$

단계 5.4.2

$x^{5}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.2.1

$x^{5}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x} d x)$

단계 5.4.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} d x)$

단계 5.4.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x)$

단계 5.4.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x)$

단계 5.4.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x^{4}}{1} d x)$

단계 5.4.2.2.5

$x^{4}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int x^{4} d x)$

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} \int x^{4} d x$

단계 5.5

멱의 법칙에 의해 $x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} x^{5}$ 가 됩니다.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

단계 5.6

답을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$\frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ 을 $\frac{1}{5} \ln (x) x^{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$x y = \frac{1}{5} \ln (x) x^{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

단계 5.6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.2.1

$\frac{1}{5}$ 와 $\ln (x)$ 을 묶습니다.

$x y = \frac{\ln (x)}{5} x^{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

단계 5.6.2.2

$\frac{\ln (x)}{5}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

단계 5.6.2.3

$\frac{1}{5}$ 에 $\frac{1}{5}$ 을 곱합니다.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} x^{5} + C$

단계 5.6.2.4

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{25} x^{5} + C$

$x y = \frac{1}{5} \ln (x) x^{5} - \frac{1}{25} x^{5} + C$

단계 6

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.1

간단히 합니다.

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단계 6.1.1

$x^{5}$ 와 $\frac{1}{25}$ 을 묶습니다.

$x y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5}) - \frac{x^{5}}{25} + C$

단계 6.1.2

괄호를 제거합니다.

$x y = \frac{1}{5} \cdot \ln (x) x^{5} - \frac{x^{5}}{25} + C$

단계 6.2

$x y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5}) - \frac{x^{5}}{25} + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$x y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5}) - \frac{x^{5}}{25} + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.2.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.3.1.1

$x^{5}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.3.1.1.1

$\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.2.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x^{1}} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.2.3.1.1.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.2.3.1.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.2.3.1.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4})}{1} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.2.3.1.1.2.5

$\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}) + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.2.3.1.2

$\frac{1}{5} (\ln (x) x^{4})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1.2.1

$\ln (x)$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{1}{5} \ln (x) x^{4} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.2.3.1.2.2

$\frac{1}{5}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{5} \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.2.3.1.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} - \frac{x^{5}}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.2.3.1.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.3.1.4.1

$- \frac{x^{5}}{25}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{- x^{5}}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.2.3.1.4.2

$- x^{5}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{x (- x^{4})}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.2.3.1.4.3

공약수로 약분합니다.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{x (- x^{4})}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.2.3.1.4.4

수식을 다시 씁니다.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{- x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$

단계 6.2.3.1.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} - \frac{x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$

단계 6.2.3.2

$\ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} - \frac{x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = x^{4} \ln (x^{\frac{1}{5}}) - \frac{x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$