미적분 예제

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 4 \frac{d x}{d t} + 5 x = 10$

단계 1

모든 해는 $x = e^{r t}$ 형식인 것으로 가정합니다.

단계 2

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 4 \frac{d x}{d t} + 5 x = 10$ 에 대한 특성 방정식을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

$\frac{d x}{d t} = r e^{r t}$

단계 2.2

2차 도함수를 구합니다

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = r^{2} e^{r t}$

단계 2.3

미분 방정식에 대입합니다.

$r^{2} e^{r t} + 4 (r e^{r t}) + 5 e^{r t} = 10$

단계 2.4

괄호를 제거합니다.

$r^{2} e^{r t} + 4 r e^{r t} + 5 e^{r t} = 10$

단계 2.5

$e^{r t}$ 로 인수분해합니다.

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단계 2.5.1

$r^{2} e^{r t}$ 에서 $e^{r t}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r t} r^{2} + 4 r e^{r t} + 5 e^{r t} = 10$

단계 2.5.2

$4 r e^{r t}$ 에서 $e^{r t}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r t} r^{2} + e^{r t} (4 r) + 5 e^{r t} = 10$

단계 2.5.3

$e^{r t} r^{2} + e^{r t} (4 r)$ 에서 $e^{r t}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + 5 e^{r t} = 10$

단계 2.5.4

$5 e^{r t}$ 에서 $e^{r t}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot 5 = 10$

단계 2.5.5

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot 5$ 에서 $e^{r t}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r t} (r^{2} + 4 r + 5) = 10$

단계 2.6

지수는 절대 0이 될 수 없으므로 양쪽을 $e^{r t}$ 으로 나눕니다.

$r^{2} + 4 r + 5 = 10$

단계 3

$r$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

방정식의 양변에서 $10$ 를 뺍니다.

$r^{2} + 4 r + 5 - 10 = 0$

단계 3.2

$5$ 에서 $10$ 을 뺍니다.

$r^{2} + 4 r - 5 = 0$

단계 3.3

AC 방법을 이용하여 $r^{2} + 4 r - 5$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.3.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 5$ 이고 합은 $4$ 입니다.

$- 1, 5$

단계 3.3.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(r - 1) (r + 5) = 0$

단계 3.4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$r - 1 = 0$

$r + 5 = 0$

단계 3.5

$r - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $r$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.5.1

$r - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$r - 1 = 0$

단계 3.5.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$r = 1$

단계 3.6

$r + 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $r$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.6.1

$r + 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$r + 5 = 0$

단계 3.6.2

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$r = - 5$

단계 3.7

$(r - 1) (r + 5) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$r = 1, - 5$

단계 4

$r$ 의 구한 값 두 개를 사용하여 두 개의 해를 구성할 수 있습니다.

$x_{1} = e^{1 t}$

$x_{2} = e^{- 5 t}$

단계 5

중첩 원리에 의해 일반해는 2계 동차 선형 미분 방정식에 대한 두 해의 선형 결합입니다.

$x = c_{1} e^{1 t} + c_{2} e^{- 5 t}$

단계 6

$t$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = c_{1} e^{t} + c_{2} e^{- 5 t}$