미적분 예제

$\frac{d y}{d t} = t^{2} - y$

단계 1

방정식의 양변에 $y$ 를 더합니다.

$\frac{d y}{d t} + y = t^{2}$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (t) d t}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (t) = 1$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int d t}$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{t + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{t}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $e^{t}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $e^{t}$ 을 곱합니다.

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t^{2}$

단계 3.2

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{t} \frac{d y}{d t} + y e^{t} = t^{2} e^{t}$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d t} [e^{t} y] = t^{2} e^{t}$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} y] d t = \int t^{2} e^{t} d t$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$e^{t} y = \int t^{2} e^{t} d t$

단계 7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u = t^{2}$ 이고 $d v = e^{t}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - \int e^{t} (2 t) d t$

단계 7.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - (2 \int e^{t} (t) d t)$

단계 7.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 \int e^{t} (t) d t$

단계 7.4

$u = t$ 이고 $d v = e^{t}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - \int e^{t} d t)$

단계 7.5

$e^{t}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $e^{t}$ 입니다.

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - (e^{t} + C))$

단계 7.6

$t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - (e^{t} + C))$ 을 $t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$

단계 8

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ 의 각 항을 $e^{t}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ 의 각 항을 $e^{t}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$e^{t}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

단계 8.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

$e^{t}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

단계 8.3.1.1.2

$t^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = t^{2} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

단계 8.3.1.2

$e^{t}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y = t^{2} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

단계 8.3.1.2.2

$- 2 t$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = t^{2} - 2 t + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

단계 8.3.1.3

$e^{t}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$y = t^{2} - 2 t + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

단계 8.3.1.3.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = t^{2} - 2 t + 2 + \frac{C}{e^{t}}$