미적분 예제

$\frac{d r}{d θ} = - r \tan (θ)$ , $r (π) = 2$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{r}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} (- r \tan (θ))$

단계 1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = - \frac{1}{r} (r \tan (θ))$

단계 1.2.2

$r$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$- \frac{1}{r}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r \tan (θ))$

단계 1.2.2.2

$r \tan (θ)$ 에서 $r$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r (\tan (θ)))$

단계 1.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r \tan (θ))$

단계 1.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = - \tan (θ)$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{r} d r = - \tan (θ) d θ$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{r} d r = \int - \tan (θ) d θ$

단계 2.2

$\frac{1}{r}$ 를 $r$ 에 대해 적분하면 $\ln (| r |)$ 입니다.

$\ln (| r |) + C_{1} = \int - \tan (θ) d θ$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $θ$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| r |) + C_{1} = - \int \tan (θ) d θ$

단계 2.3.2

$\tan (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sec (θ) |)$ 입니다.

$\ln (| r |) + C_{1} = - (\ln (| \sec (θ) |) + C_{2})$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

$\ln (| r |) + C_{1} = - \ln (| \sec (θ) |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| r |) = - \ln (| \sec (θ) |) + C$

단계 3

$r$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| r |) + \ln (| \sec (θ) |) = C$

단계 3.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| r | | \sec (θ) |) = C$

단계 3.3

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\ln (| r \sec (θ) |) = C$

단계 3.4

$r$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| r \sec (θ) |)} = e^{C}$

단계 3.5

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| r \sec (θ) |) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = | r \sec (θ) |$

단계 3.6

$r$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$| r \sec (θ) | = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| r \sec (θ) | = e^{C}$

단계 3.6.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$r \sec (θ) = \pm e^{C}$

단계 3.6.3

$r \sec (θ) = \pm e^{C}$ 의 각 항을 $\sec (θ)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.1

$r \sec (θ) = \pm e^{C}$ 의 각 항을 $\sec (θ)$ 로 나눕니다.

$\frac{r \sec (θ)}{\sec (θ)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

단계 3.6.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.2.1

$\sec (θ)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{r \sec (θ)}{\sec (θ)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

단계 3.6.3.2.1.2

$r$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$r = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

단계 3.6.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.3.1

분수를 나눕니다.

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\sec (θ)}$

단계 3.6.3.3.2

$\sec (θ)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

단계 3.6.3.3.3

$\frac{1}{\cos (θ)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} (1 \cos (θ))$

단계 3.6.3.3.4

$\cos (θ)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cos (θ)$

단계 3.6.3.3.5

$\pm e^{C}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$r = (\pm e^{C}) \cos (θ)$

단계 3.6.3.3.6

$(\pm e^{C}) \cos (θ)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$r = \cos (θ) (\pm e^{C})$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$r = \cos (θ) C$

단계 5

초기 조건을 활용하여 $r = \cos (θ) C$ 에서 $θ$ 에 $π$ 을, $r$ 에 $2$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$2 = \cos (π) C$

단계 6

$C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\cos (π) C = 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\cos (π) C = 2$

단계 6.2

$\cos (π) C = 2$ 의 각 항을 $\cos (π)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$\cos (π) C = 2$ 의 각 항을 $\cos (π)$ 로 나눕니다.

$\frac{\cos (π) C}{\cos (π)} = \frac{2}{\cos (π)}$

단계 6.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$\cos (π)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\cos (π) C}{\cos (π)} = \frac{2}{\cos (π)}$

단계 6.2.2.1.2

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$C = \frac{2}{\cos (π)}$

단계 6.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

분수를 나눕니다.

$C = \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (π)}$

단계 6.2.3.2

$\frac{1}{\cos (π)}$ 을 $\sec (π)$ 로 변환합니다.

$C = \frac{2}{1} \sec (π)$

단계 6.2.3.3

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$C = 2 \sec (π)$

단계 6.2.3.4

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 시컨트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$C = 2 (- \sec (0))$

단계 6.2.3.5

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$C = 2 (- 1 \cdot 1)$

단계 6.2.3.6

$2 (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.6.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$C = 2 \cdot - 1$

단계 6.2.3.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$C = - 2$

단계 7

$r = \cos (θ) C$ 의 $C$ 에 $- 2$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$C$ 에 $- 2$ 를 대입합니다.

$r = \cos (θ) \cdot - 2$

단계 7.2

$\cos (θ)$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$r = - 2 \cos (θ)$