미적분 예제

$x^{2} \frac{d y}{d x} = x y + x^{2} + y^{2}$

단계 1

$\frac{y}{x}$ 의 함수로 미분 방정식을 다시 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x^{2} \frac{d y}{d x} = x y + x^{2} + y^{2}$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x^{2} \frac{d y}{d x} = x y + x^{2} + y^{2}$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{x y}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

단계 1.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{x y}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

단계 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

단계 1.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1.1

$x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y)}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

단계 1.1.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y)}{x \cdot x} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

단계 1.1.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x \cdot x} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

단계 1.1.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

단계 1.1.3.1.2

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

단계 1.1.3.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

단계 1.2

$\frac{y^{2}}{x^{2}}$ 을 ${(\frac{y}{x})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 1 + {(\frac{y}{x})}^{2}$

단계 2

$V = \frac{y}{x}$ 라고 두고, $V$ 를 $\frac{y}{x}$ 에 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = V + 1 + V^{2}$

단계 3

$V = \frac{y}{x}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

$y = V x$

단계 4

곱의 미분 법칙을 사용해 $x$ 에 대하여 $y = V x$ 의 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

단계 5

$\frac{d y}{d x}$ 에 $x \frac{d V}{d x} + V$ 를 대입합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 1 + V^{2}$

단계 6

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1

$\frac{d V}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1.1

방정식의 양변에서 $V$ 를 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = V + 1 + V^{2} - V$

단계 6.1.1.1.2

$V + 1 + V^{2} - V$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1.2.1

$V$ 에서 $V$ 을 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2} + 0$

단계 6.1.1.1.2.2

$1 + V^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2}$

단계 6.1.1.2

$x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2}$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.1

$x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2}$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{V^{2}}{x}$

단계 6.1.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{V^{2}}{x}$

단계 6.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{x} + \frac{V^{2}}{x}$

단계 6.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{x}$

단계 6.1.3

양변에 $\frac{1}{1 + V^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

단계 6.1.4

$1 + V^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

단계 6.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

단계 6.1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{1 + V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

단계 6.2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{1^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + V^{2}}$ 를 $V$ 에 대해 적분하면 $\arctan (V) + C_{1}$ 입니다.

$\arctan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\arctan (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

단계 6.2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\arctan (V) = \ln (| x |) + C$

단계 6.3

방정식의 양변에서 역 아크탄젠트를 취하여 아크탄젠트 안의 $V$ 을 꺼냅니다.

$V = \tan (\ln (| x |) + C)$

단계 7

$V$ 에 $\frac{y}{x}$ 를 대입합니다.

$\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$

단계 8

$\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

양변에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

단계 8.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

단계 8.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \tan (\ln (| x |) + C) x$

단계 8.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$\tan (\ln (| x |) + C) x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = x \tan (\ln (| x |) + C)$